3e8.nl

Modelleren

Leestijd: circa 8 minuut.

❱Deze webpagina gaat over rekenkundig modelleren waarin een set rekenregels een beperkt deel van een systeem beschrijft. Een rekenkundig model waarmee je op school werkt, kan zowel een tekst- als ook een grafisch model zijn. Voor het onderwijs mag je ieder modelleerprogramma gebruiken dat je wilt. Om te starten raad ik Thom Koooij’s modelleertaal aan: makkelijk in gebruik en snel te begrijpen; (en natuurlijk mag het uitgebreidere Coach ook).

1 Wat is modelleren?

Een model is een beperkte weergave van de werkelijkheid dat slechts delen van die werkelijkheid beschrijft, toont of voorspelt.

Albert Einstein legde uit dat het vak natuurkunde modellen maakt van de werkelijkheid. Natuurkunde is als het willen begrijpen van een horloge dat niet te openen is, vond hij. Je kunt kijken naar de wijzers, luisteren naar het tikken van een mechanisme en je kunt allerlei experimenten doen met het horloge. Op deze manier vorm je een model over het inwendige van het horloge en hoe het horloge mogelijk werkt.

Volgens Einstein was dat ook zo met de natuurkunde: Hoe de natuur echt werkt, komen we nooit achter. En ook in het licht van Einsteins horloge: Een model kan nooit fout zijn, maar alleen maar minder goed voorspellen.

1.1 Voorbeeld van rekenmodel

Een voorbeeld maakt duidelijk wat modelleren is.

Aristoteles’ val

In een poging te begrijpen hoe voorwerpen vallen, meende Aristoteles dat voorwerpen met een grotere massa sneller vallen. Aan de hand van dit idee maakten de klassieken een natuurkundig model waarin een oude Griek zou kunnen zeggen: $g\propto m$, zie figuur m.1.

Dit model is redelijk in staat om een stukje van de valbeweging te beschrijven. Aristoteles zou zijn model in 400 v Chr. kunnen ondersteunen door bijvoorbeeld voorwerpen in water te laten vallen. Daarbij is te zien dat grotere massa’s inderdaad minder sneller vallen.

Schermopname een tekst-model met aristoteles’ valmechanica
Figuur m.1 Een model van een val waarbij de versnelling afhangt van de massa, zoals Aristoteles voorstelde in 400 v. Chr. Grijs de kleine massa en blauw de grote massa, model in Thom Koooij’s modelleertaal.

Newtons val

Dankzij Newton weten we inmiddels dat $g = G\, M_A / R^2_A$ en dus dat alle voorwerpen versnellen met dezelfde $g$. De theorie van Newton levert een verbeterd model dat beter beschrijft hoe een voorwerpt valt. En ook dit model is nog beperkt want het geldt alleen maar voor een vrije val. Dus... in een nog verder verbeterd model betrek je ook de wrijvingskracht: $F_w=½\, C_w A \rho v^2$, enzovoort.

Aanpassing

Dit is de manier waarop de natuurkunde vaak werkt: Een eerste model is vaak slechts heel beperkt geldig en kan alleen maar heel globaal verklaren en voorspellen. Daarna komen vaak de verfijningen en of soms komt opeens een nieuw model die preciezere metingen beter beschrijft.

1.2 Werkwijze

Modelleren doen wetenschappers vaak als ze (een deel) van de werkelijkheid vereenvoudigd representeren om die te kunnen beschrijven, verklaren en voorspellen. Modelleren levert zowel inzicht in onderliggende natuurkunde als dat het laat zien hoe een systeem zich ontwikkelt in de tijd.

Met de rekenkracht van de huidige computers is het steeds beter mogelijk om natuurwetenschappelijke verschijnselen op deze manier te begrijpen en te onderzoeken. Werken met rekenkundige modellen heeft diverse voordelen waaronder: het is goedkoper dan werken met een tastbaar proef- of schaalmodel, de rekenkundige regels in het model zijn makkelijk aan te passen, te versimpelen en uit te breiden en met een rekenkundig model kun je snel verschillende beginsituaties onderzoeken.

Een model kan eenvoudige zijn zoals bij de val, of veel ingewikkelder model voor de beschrijving van de bewegingen van meteorieten rond de zon.

Modellen kom je op heel veel plekken tegen: In de vele spelletjes op je mobiel, het cbs rekent aan de Nederlandse economie, Buienradar voorspelt het weer, energiebedrijven voorspellen het energieverbruik, de who voorspelt welke hoe virussen zich verspreiden, medici hoe de hersenen werken, met een vliegsimulator laat je een vliegtuig bewegen in de tijd (en ruimte), natuurbehoud simuleert ecosystemen enzovoort. Zelfs het viraal-gaan van een tweet kun je modelleren.

2 Dynamische modellen: Evolutie

Een kenmerk van de klassieke natuurkunde is dat je vanuit een begintoestand, bijvoorbeeld de plaats en de snelheid van een voorwerp op een bepaald tijdstip, kunt uitrekenen wat de toestand later of eerder is, je noemt dat de evolutie in de tijd. Met andere woorden: Een model kan de ontwikkeling of de evolutie van een proces nabootsen. Bij een beweging gebruik je daarvoor op school de wetten van Newton. Als je bijvoorbeeld weet waar de maan vandaag is, kun je met de Newtons-gravitatiewet en $F_{\text{res}}=ma$ precies uitrekenen waar de maan gister was en waar de maan morgen is.

Dynamisch modelleren doet precies dat: Vanuit een start-toestand op een tijdstip reken je naar een volgende toestand op een later tijdstip; je evolueert de plaats. Je zou kunnen zeggen dat je de toestand van de maan update in de tijd: \begin{equation} (x_{1},v_{1},t) \rightarrow (x_{2},v_{2},t+dt).\tag{m.1} \end{equation}

Bij modelleren op school gaat het vrijwel altijd over een verandering in de tijd, het zogenaamde dynamisch modelleren. Ruwweg doe je daarmee twee dingen. Ten eerste kun je laten zien hoe grootheden ($s,v,a,F,E$ enz.) zich in de tijd ontwikkelen of evolueren. Daarnaast kun je met een model een begin- of startwaarde van één of meer variabelen veranderen en de invloed van die verandering bestuderen.

Een dynamisch model bevat logischerwijs de onafhankelijke variabele (tijd $t$) die in kleine stapjes (de stapgrootte $dt$) groeit en waarmee je telkens opnieuw de andere afhankelijke variabelen berekent. Dit herhaald bereken is het kenmerk van een iteratieve aanpak: Je herhaalt een serie berekeningen telkens met een andere, iets grotere of kleinere, waarde.

In grote lijnen heeft een dynamisch model altijd dezelfde structuur: (a) Definieer de beginwaarden en geef de stapgrootte, (b) geef de evolutie- of rekenregels van je model, en (c) laat de rekenregels herhalen tot een vastgesteld einde. Deze drie stappen vormen de basis (een recept) dat de computer uitvoert. In een modeltaal zou je zoiets kunnen schrijven:

1. definieer startwaarden t0=... dt=...
2. definieer beginwaarden van de variabelen
3. herhaal tot ...
4. rekenregels
5. t=t+dt

De laatste regel bevat een recursieformule: t=t+dt. Dit kun je lezen als: Nieuw = Oud + toename. Het aantal herhalingen in de derde regel kun je laten lopen tot bijvoorbeeld een van te voren vastgesteld aantal keer (bijvoorbeeld herhaal 2000x) of tot de grootte van een variabele is bereikt (bijvoorbeeld herhaal tot $t=100$ s of herhaal tot $v < 25$ m/s). Recursieformules kom je in modellen in veel verschillende vormen tegen.

Een aantal tips voordat je start met modelleren.

Voorbeeld i: Snelheid van een versneld voorwerp

Een voorwerp ligt stil ($v=0$ m/s op $t_0=0$). Vervolgens krijgt het een versnelling van $1,3 \, \text{m/s}^2$. Dat houdt in dat de snelheid iedere $\Delta t = 1$ seconde met $\Delta v = 1,3$ m/s toeneemt: \begin{align*} t=0 & \quad v = 0 \, \text{m/s},\\ t=1 & \quad v = 1,3 \, \text{m/s},\\ t=2 & \quad v = 2,6 \, \text{m/s},\\ ...& \tag{m.3} \end{align*} Om in een model telkens de nieuwe snelheid uit te rekenen, hanteer je hier de rekenregel (recursieformule): \begin{equation} v_{\text{nieuw}}=v_{\text{oud}} + 1,3 \times \Delta t. \tag{m.4} \end{equation}

Je ziet onmiddellijk dat dit herhaald/iteratief rekenen een saai klusje is en dus uitstekend geschikt is voor een computer. Je kunt dit voorbeeld zo in een spreadsheet stoppen.

Schermopname van een model in een spreadsheet
Figuur m.2 Voorbeeld I: Versnelling in een spreadsheet. Let op dat de stapgrootte hier 0,11 s is. De recursieformule voor de snelheid is: $v_2=v_1+ a * dt$; en voor de afstand: $s_2=s_1+\text{1/2} * v_2*dt$.

Voorbeeld ii: Afkoeling van een voorwerp

Afkoeling gaat evenredig met de temperatuur van het voorwerp $T$. Hoe hoger de temperatuur van een voorwerp ten opzicht van zijn omgeving, hoe groter de daling $\Delta T$ (dat verschijnsel kom je ook tegen bij halvering): \begin{equation} \frac{\Delta T}{\Delta t} \propto -T \quad \rightarrow \quad \frac{\Delta T}{\Delta t} = - k\,T.\tag{m.5} \end{equation} Dit kun je verwerken tot een numeriek rekenmodel waarbij een recursieformule ontstaat: \begin{align*} \Delta T &= - T\,k\, \Delta t,\\ T_2-T_1 & = -T_1 \, k\, \Delta t, \tag{m.5a}\\ T_2 & = T_1 - T_1 \, k \, \Delta, t \end{align*} waarbij $\Delta t$ een klein stapje is in de tijd.

3 Modelleertaal

Om modellen te maken, gebruik je een aparte computertaal. In de wetenschap gebruik je vaak Wolfram.

3.1 Kooij

Tom kooij’s modelleertaal leert je snel en doelmatig modelleren zonder dat je eerst een knoppencursus hoeft te volgen. Bovendien hanteert de app dezelfde taal/methode/vormgeving die je op examens ook tegenkomt. Als je de app start, kom je direct bij het tekstscherm waar je kunt beginnen met programmeren. Zodra je wilt, laat je het programma runnen (de RUN!-knop linksboven).

schermopname van een tekstmodel over afkoeling
Figuur m.3 Model van een afkoeling. Webapp van Tom Kooij’s webapp: modelleertaal.

Wat tips om handig te werken met Kooij’s modelleertaal:

3.2 Coach

Coach7 biedt uitgebreide online-hulp. Als je geheel nieuw bent met het programma, start dan met de web-hulp en begin met: (a) Aan de slag>eerste stappen; en doorloop daarna (b) Modelleren.

Coach kun je runnen in een tekst- of in een grafische omgeving, beide doen hetzelfde. Onderzoek laat zien dat beginners het idee van modelleren snel begrijpen als ze in de grafische-modus starten.

schermopname van coach: Grafisch model van afkoeling
Figuur m.4 Model van de afkoeling van een voorwerp in de grafische omgeving van coach7. Duidelijk is zichtbaar de vooruit-koppeling: Temperatuur heeft invloed op de warmtestroom. De startwaarde zitten in de verschillende blokken.

Je kunt nu het model in coach zetten. Let op het verschil tussen variabelen die van de tijd afhankelijk zijn (rechte blokken) en hulpvariabelen die een vaste waarde hebben (cirkels). De pijlen geven een verandering aan.

De tekst-omgeving start je op door in het modelvenster te kiezen voor Tekstmodus.

schermopname van coach: tekstmodel van afkoeling
Figuur m.5 Model van de afkoeling van een voorwerp (voorbeeld II) in de tekst-omgeving van coach7. Het model bevat twee vensters: Links de rekenregels, en rechts de begin- of startvoorwaarden en de constanten. De starttijd is hier $t=0$, de stapgrootte $dt=0,1$ en begintemperatuur is $T=100$.

Wat tips om handig te werken met coach:

4 Alle modellen op 3e8.nl

laatste aanpassing: 11-10-2019