3e8.nl

Ideeën

Leestijd: circa 10 minuut.

❱De onderstaande ideeën staan niet expliciet vermeld in de syllabus. Maar omdat de natuurkunde op school wel regelmatig gebruik maakt van deze begrippen, zijn ze hier wat bij elkaar geharkt.

Bewegingsvergelijking

De vergelijkingen van snelheid $v$ en versnelling $a$ kun je ook op een wiskundige manier lezen als de afgeleiden naar de tijd $t$. Dat wil zeggen als je plaatsfunctie $x(t)$ differentieëert, dan levert dat eerst de snelheid en bij nog een keer differentiëren de versnelling: \begin{align} v & = \frac{dx}{dt}, \tag{c1.5}\\ a & = \frac{dv}{dt}= \frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2},\tag{c1.6} \end{align} waarbij $d / dt$ de differentiatie is naar de tijd. Hier staat in feite dat je met de bewegingsvergelijking $x(t)$ van een voorwerp, door middel van differentiëren, de bewegingsvergelijkingen van de snelheid en van de versnelling kunt vinden.

Een voorbeeld: \begin{align*} x & = 6 + 5t -4,9t^{2}, \tag{c1.7}\\ v & = \frac{dx}{dt} = 5 -9,8 t, \tag{c1.8}\\ a & = \frac{dv}{dt} = -9,8. \tag{c1.9} \end{align*} Dit zijn de drie bewegingsvergelijkingen van een voorwerp die beschrijven hoe de aanvankelijk plaats ($x_0=6$m) snelheid ($v_0=5$m/s) en versnelling ($a=-9,8$m/s$^2$) veranderen in de tijd; wat je ook wel aangeeft als de evolutie van de plaats, de snelheid en de versnelling. Deze set van drie vergelijkingen geeft een compleet beeld van de beweging. Met andere woorden je hebt verder niets nodig om de beweging van het voorwerp te beschrijven.

Halvering

In de natuurkunde, maar ook in de scheikunde, in de biologie en in de medische wetenschappen kom je vaak tegen dat de afname in de tijd $\Delta / \Delta t$ van een grootheid $G$ evenredig is met de grootheid zelf: \begin{equation} \frac{\Delta G}{\Delta t} \propto - \, G \rightarrow \frac{d G}{d t} \propto -\, G,\tag{id.1} \end{equation} let op het $-$ teken wat op een afname duidt*. In woorden staat hier: als de grootheid $G$ een grote waarde heeft, is de afname $\Delta G$ in de tijd van die grootheid ook groot (en als $G$ een kleine waarde heeft, is de afname $\Delta G$ in de tijd ook klein).

Integreren van een dergelijk verband leidt tot een exponentiële afname van $G$ (wiskunde b?). Hoewel dat een functie oplevert met een e-macht, kun je deze functie omschrijven naar een macht van $½$: \begin{equation} G(t)= G_0 \, \left ( \frac{1}{2}\right )^{\frac{t}{t_{½}}},\tag{id.2} \end{equation} waarbij $G_0$ de waarde is op een begintijdstip en $t_{½}$ — de halfwaardetijd — een kenmerkende tijd is voor de afname. Als je nu een $(G,t)$-grafiek maakt, is de vorm is altijd zoals in figuur b2.4.

Onder andere artsen maken gebruik van het idee van halvering in de zin dat na een bepaalde tijd ($t_{½}$), de helft van een ingenomen hoeveelheid medicijnen uit je lichaam is afgevoerd of afgebroken.

* Een $+$ teken houdt groei in, dat kom je bijvoorbeeld tegen bij een rente.

Kracht en potentiaalput

Je kunt zeggen dat kracht de oorzaak is van verandering van beweging. Een voorwerpen valt omdat de aarde er aan trekt. En ja, die gravitatiekracht die ‘is er gewoon’. Je kunt kracht echter ook bekijken als het gevolg van een verandering van potentiële energie over een afstand $\Delta x$. Veerkracht is het gevolg van veer-energie; gravitatiekracht is het gevolg van van zwaarte-energie. Voor kracht $F$ en potentiële energie $E$ geldt: \begin{equation} F = -\frac{\Delta E}{\Delta x},\tag{id.3} \end{equation} waar in feite staat dat kracht de negatieve afgeleide (naar plaats) is van van potentiële energie: $F=-dE/dx$. Door naar de gravitatie-energie te kijken, zie je hoe dit werkt: \begin{equation} F_{z} = -\frac{d E}{d x}= -\frac{d E_{g}}{d x} =-\frac{d}{d x}-G\frac{m \,M}{r}= G\frac{m \,M}{r^{2}}.\tag{id.4} \end{equation} Als je de gravitatie-potentiaalput bekijkt, kun je het idee goed uitleggen. Stel de put voor als een trechter waarin je geheel rechts een knikker legt. Een klein beetje $dx$ naar links levert een klein beetje afname $-dE$: De knikker begint te rollen. Naarmate de knikker dieper in de trechter rolt, levert een klein beetje $dx$ een steeds grotere afname $-dE$ op. Met andere woorden: De knikker versnelt.

Natuurwet

De drie wetten van Newton, de kwadratenwet, de wet van Ohm, de wet van Archimedes. In de natuurkunde kom je vaak het begrip wet tegen, maar de manier waarop natuurkundigen tegen wetten aankijken, verschilt van de manier waarop we in het dagelijks leven met wetten omgaan. In het dagelijks leven is een wet een afspraak in de maatschappij, zo je wilt een bedenksel van de mens.

Een natuurwet houdt in dat er — kennelijk — regels zijn waaraan de natuur zich altijd blijkt te houden, de mens heeft niets te maken met zo’n natuurwet. In alle experimenten die zijn gedaan met Newton tweede wet $F_{res}=ma$, bijvoorbeeld met Atwoods machine, gedragen massa’s zich zoals Newton voorspelt.

Nog zoiets: Een natuurwet kun je niet bewijzen. Newton had geen bewijs voor de gravitatiewet. Newton kon alleen maar laten zien dat als je de gravitatiewet gebruikt, die wet correct het idee van een heliocentrische zonnestelsel kan uitleggen. Je zou het kunnen bekijken alsof Newton de regels vond die de natuur hanteert. Of je kunt ook zeggen dat Newton de regels ‘uit de natuur heeft gepakt’. En dat was precies de briljantie van Newton. (Overigens duurde het nog wel ruim honderd jaar voordat de gravitatiewet door iedereen werd geaccepteerd. Newton was diep gelovig, maar was het vooral de kerk die lange tijd bezwaar had tegen zijn wetten.)

Zo is er ook geen reden voor een natuurwet. Niemand weet waarom Kirchhoffs wetten gelden. Maar als je naar elektrische systemen kijkt, dan blijkt het zo te zijn dat op kruispunten de som-stroom nul is. Je zou nog kunnen zeggen dat het gaat om een dieper liggende wet van energiebehoud; maar ook daar is geen reden voor. We weten niet waarom in ons heelal energie behouden blijft. We weten alleen maar dat uit alle metingen die tot nu toe zijn gedaan, het altijd zo is geweest dat energie behouden blijft. Het is kennelijk een regel waaraan de natuur zich houdt. Dat noem je een natuurwet.

En daar zit meteen de handigheid van een natuurwet. Als bijvoorbeeld in de Atlas-detector van de CERN Large Hadron Collider een botsing wordt bekeken, weet je vantevoren dat een aantal behoudswetten gelden. Tel je het aantal deeltjes voor en na een botsing en je komt niet uit met een behoudswet, dan heb je iets over het hoofd ziet.

Tot slot: Als je deftig of geleerd wilt doen, mag je ook spreken over axioma’s, grondslagen, postulaten, stelling, assumptie, hypothese enzovoort. Allemaal hetzelfde, en dan klinkt ‘De drie regels van Newton’ misschien wel het makkelijkst.

Puntvoorwerp en klassieke natuurkunde

In zijn tweede boek over natuurkunde Optics uit 1730 schreef Newton:

‘All these things being considered, it seems probable to me, that God in the beginning formed matter in solid, massy, hard, impenetrable, moveable particles, of such sizes and figures, and with such other properties, and in such proportion to space, as most conduced to the end for which he formed them; and that these primitive particles, being solids, are incomparably harder than any porous bodies compounded of them; even so very hard, as never to wear or break in pieces; no ordinary power being able to divide what God himself made one in the first creation. While the particles continue entire, they may compose bodies of one and the same nature and texture in all ages: But should they wear away, or break in pieces, the nature of things depending on them would be changed.’

Newtons verwoordde een model dat tot ongeveer 1900 al het natuurkundige denken domineerde en dat we tegenwoordig aanduiden als de klassieke natuurkunde. Dit domein van de natuurkunde is opgebouwd vanuit het idee dat je alle verschijnselen kunt verklaren door te redeneren vanuit puntvoorwepren. Samengevat heeft een puntvoorwerp: (a) geen afmeting ($r=0$), en (b) kan een massa en/of een lading hebben en/of kan gemagnetiseerd zijn.

Het idee van geen afmeting is onder andere gebaseerd op het idee van de oude grieken dat alles is opgebouwd uit kleine deeltjes die zo klein zijn dat je ze toch niet kunt zien. Op deze manier kun je ieder voorwerp, wat natuurkundige graag een lichaam noemen, opgebouwd denken uit kleinere puntvoorwerpen.

De gehele natuurkunde maakt graag gebruik van de versimpelde voorstelling van een puntvoorwerp. Dat gaat goed zolang de afmetingen van het beschouwde voorwerp niet van belang zijn. Bijvoorbeeld om de beweging van ver weg gelegen ster te beschrijven, kun je doen alsof de ster een puntmassa is.

Figuur id.1 Tekeningen van atomen en moleculen op pagina 219 van John Daltons ’A New System of Chemical Philosophy’, uit 1808. Onder andere: 1 Waterstof; 3 Koolstof; 4 Zuurstof; 19 Goud; 20 Kwik; 21 Water (volgens Dalton opgebouwd uit een atoom waterstof en een atoom zuurstof).

De natuurkunde tot circa 1900 geldt als de klassieke natuurkunde waarbij men dacht dat een aantal universele ideeën golden:

Grootheden

Skalar

Een skalar-grootheid heeft alleen maar een grootte, je geeft het weer met één getal. Voorbeelden zijn: $T=2$ K; $m=3,4$ kg; $\rho=0,98$ kg/m$^{3}$; $E=2,6$ eV; $U=67$ V. Skalar-grootheden kun je bij elkaar optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zoals je gewend bent bij wiskunde: \begin{align*} m_{1}+m_{2}& =20 \,\text{kg} + 3,4 \, \text{kg} = 23,4\, \text{kg};\\ m = \rho \times V & = 10,9 \cdot 10^{3}\times 3,4 = 37 \cdot 10^{3} \, \text{kg}\\ E = ½ mv^{2} & = ½ \cdot 2,3 \cdot 21^{2}=51 \cdot10^2 \,\text{J}.\tag{id.5} \end{align*}

Hoewel je dat misschien niet onmiddellijk zou denken, rekenen natuurkundigen graag met skalar-grootheden om de reden die je hierboven ziet: je kunt alle bekende wiskundige operaties uitvoeren. Het is een reden dat natuurkundigen het begrip energie erg vaak (en graag) gebruiken.

Vector

Figuur id.2 Combineer vectoren.

Een vector-grootheid kom je ook tegen bij wiskunde-b: Het is een grootheid met een grootte (lengte) en een richting (oriëntatie). Voorbeelden van vector-grootheden zijn $\vec{v}, \vec{F}, \vec{B}$. Je kunt een vector ook zien als een ‘los ding’. Isaac Newton realiseerde zich dat je een vector door de ruimte (of op je papier) mag verplaatsen zolang de lengte en de oriëntatie gelijk blijven, zie figuur id.2a.

Als je met vectoren werkt, wil je soms een vector tekenen (bijvoorbeeld een lorentzkracht) die loodrecht op het papier werkt. Om dat aan te geven, gebruik je twee symbolen: ⊗ als een vector in het papier verdwijnt (van je af is gericht) en ⊙ als vectoren uit het papier komen (naar je toe komt).

Als de vector-kenmerk van een grootheid van belang is tijdens het rekenen, zet je vaak een streepje boven het symbool: $\Delta\vec{x}=5$ m; $\vec{v}=-3,4$ m/s; $\vec{a}=9,81$ m/$s^{2}$ $\vec{F}=790$ N.

Ook vectoren kun je bij elkaar optellen of aftrekken; ook wel samenstellen genoemd. Zolang de vectoren allemaal in dezelfde richting zijn, gaat optellen (aftrekken is in feite optellen van een negatief getal) zoals je gewend bent. Een kracht van $\vec{F}_{1}=3$ N omlaag optellen met een kracht van $\vec{F}_{2}=4$ N omhoog levert: $$\vec{F}_{res}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}=-3+4 = 1\,\text{N (omhoog)}.\tag{id.6}$$

Optellen wordt echter anders als de vectoren verschillende richtingen hebben. Het simpelste voorbeeld is twee vectoren die loodrecht op elkaar staan. Een kracht van $F_{1}=3$ N omlaag optellen met een kracht van $F_{2}=4$ N naar links levert volgens Pythagoras: $$F_{res}=\sqrt{F_{1}^{2}+F_{2}^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}} = 5\, \text{N (schuin naar links)}.\tag{id.7}$$

Als de vectoren niet meer loodrecht geöriënteerd zijn, kun je op school de vectoren alleen maar grafisch samenstellen. Dat kan op twee manieren via de kop-staart-methode, of via de parallellogram-methode, zie figuur id.2.b.

Lijntekening van bewerkingen met vectoren.
Figuur id.2 Vectoren kun je: (a) Evenwijdig verschuiven, (b) samenstellen $\vec{1}+\vec{2}$ en (c) ontbinden dikwijls in een loodrechte en een parallelle component.

Soms wil je weten hoe een vector werkt in een bepaalde richting; waarbij het vaak om twee loodrechte richtingen gaat, meestal één parallel aan een beweging/vlak/... en één loodrecht aan een beweging/vlak/.... . Die procedure noem je ontbinden in componenten, zie figuur id2.2c. De procedure houdt in dat je een som-vector hebt en je wilt weten uit welke twee vectoren deze is opgebouwd. Ontbinden is een soort achteruit samenstellen. Op school kom je dat vaak tegen bij krachten van voorwerpen op een hellend vlak.

Symmetrie en behoud

De moderne natuurkunde maakt veel gebruik van een enorm belangrijk bewijs uit 1915 van een (helaas redelijk onbekende) wiskundige Emmy Noether. Zij bewees dat symmetrieën in natuur altijd behouden grootheden oplevert. Haar tijdgenoot Herman Weyl zei hierover: Iets is symmetrisch als je er handeling mee kunt doen zodat het er, wanneer je daarmee klaar bent, nog hetzelfde uitziet als voorheen. (Een gelijkzijdige driehoek draaien over een hoek van $180^o$ bijvoorbeeld.)

Een veel gehanteerd natuurkundig voorbeeld is het behoud van energie (in de tijd): Op een eerder en op een later tijdstip is de hoeveelheid energie hetzelfde (symmetrisch). Noether noemt zo’n behouden grootheid een invariant. Behoudswetten zijn natuurkundig gezien enorm handig vooral bij experimenten: Je hoeft alleen maar te boekhouden want voor en na een proces moet de behouden grootheid exact hetzelfde zijn. Als dat niet zo is, klopt je meting niet (of je berekening).

Een andere behoudswet is bijvoorbeeld het behoud van impuls ($p=mv$) en de symmetrie in plaats. Als je biljart speelt dan weet je dat botsende ballen impuls doorgeven aan elkaar. Impulsbehoud is het gevolg van symmetrie van de ruimte: Vanaf welk punt je naar de botsing bekijkt, impuls blijft altijd behouden.

Toestand

De toestand van een systeem is een set van grootheden die een systeem beschrijft zonder iets te zeggen over het verleden of de toekomst van het systeem. Een voorbeeld maakt veel duidelijk. Bij een bal die je omhoog gooit, beschrijft de set $(x,p)$ op ieder moment de toestand. Bij een staande golf kun je spreken over de toestand waar in de golf is: de grondtoon of de derde boventoon. Bij een gas geeft het drietal grootheden $(p,V,T)$ vaak de toestand weer.

Veld

Stel dat je in een ruimte overal de temperatuur gaat meten: Vanaf achterin de linkeronderhoek tot voorin de rechterbovenboek. Zo’n dataset is weliswaar onmogelijk groot, maar je zou daarmee een drie-dimensionale temperatuurkaart kunnen maken waarin je al die gegevens verwerkt. In feite heb je nu een skalar-veld vastgesteld: Iedere plek $(x,y,z)$ in de ruimte heeft een temperatuur $T$ en je zou dit kunnen weergeven als een coördinatencombinatie: $(x,y,x,T)$. Omdat temperatuur een skalar is, spreek je hier over een skalar-veld. Een veld is in z’n eenvoudigste vorm niets meer dan dat: Een getal in de ruimte: $(x,y,x,\text{grootheid})$.

Als je zo’n temperatuurkaart van de atmosfeer zou kunnen maken, dan zul je zien dat wind het gevolg is van temperatuurverschillen over grotere afstanden. Die windsnelheid zelf kun je ook weergeven een veld: een vector-veld waarbij op iedere plaats de windvector een bepaalde richting heeft $(x,y,x,\vec{v})$.

Op het vwo leer je over drie velden: Het gravitatieveld heeft invloed op massa’s, het elektrisch veld heeft invloed op lading en het magnetisch veld heeft invloed op magneten. De invloed kun je voor alle drie op eenzelfde manier weergeven:
kracht = veld-eigenschap $\times$ voorwerp-eigenschap: \begin{align} \vec{F}_{z}& =\vec{g}\times m, \tag{id.8a}\\ \vec{F}_{el}& =\vec{E}\times q,\tag{id.8b}\\ \vec{F}_{L} &=\vec{B}\times (qv).\tag{id.8c} \end{align}

laatste aanpassing: 19-11-2019