3e8.nl

H Natuurwetten en modellen

Leestijd: circa 6 minuut.

1 Natuurkundige theorie

❱Natuurkunde op het vwo gaat — in grote lijnen — over massa en lading en in het bijzonder over de plaats ervan in de tijd. De natuurkunde doet geen uitspraak over wat massa of lading nu precies is; je kunt ze meten in kilogram of Coulomb en daarmee is ongeveer alles wel gezegd. In de natuurkundige berekeningen fungeren beide grootheden vaak als een parameter: Ze hebben een bepaalde waarde (die je meet of geeft) en dan ga je aan de slag met de natuurkunde.

De massa’s en ladingen bewegen in de tijd en in de ruimte. Om de veranderingen van plaats en beweging te beschrijven, maakt de natuurkunde gebruik van allerlei afgeleide grootheden zoals kracht, energie, spanning, potentiaal enz.

Dan zijn er de natuurconstanten zoals: $C, e, h, G, k_b$. De grootte van deze constanten zijn door de natuur bepaald en zijn in het heelal overal geldig. De natuurkunde heeft geen theorie over de grootte van deze getallen, ze stelt ze slechts vast.

1.1 Tijdsontwikkeling

Om veranderingen in de tijd te beschrijven, heeft de natuurkunde evolutieregels, bijvoorbeeld de tweede wet van Newton.

In grote lijnen gaat de natuurkunde over het vinden van een theorie waarin parameters, afgeleide grootheden, natuurconstanten en evolutieregels een kloppend geheel vormen waarmee je uitkomsten van metingen kunt voorspellen.

1.2 Universeel

Natuurkunde zoekt naar theoriën die universeel geldig zijn: wetten. Dat wil zeggen dat de regels hier op aarde gelden, maar ook aan de andere kant van het heelal en ze gelden nu, vroeger en ook in de toekomst. Daarentegen heeft iedere theorie grenzen waarbinnen de theorie geldt. Newtons wetten werken prima als de snelheden flink onder lichtsnelheid zijn en de afmetingen groter dan zet een stofje, zie figuur h.1.

Overigens kan een theorie niet onjuist zijn maar slechts minder goed voorspellen. Experimenten zijn daarom cruciaal voor de natuurkunde. Klopt de uitkomst van een experiment niet met de theorie dan gaat de theorie in de prullenbak niet het experiment.

Lijntekening van de geldigheidsgebieden van de verschillende mechanica soorten.
Figuur h.1 Natuurkundige wetten zijn universeel geldig: Overal in het heelal en in het verleden en in de toekomst. De meeste natuurkunde die je op school leert valt in de klassieke natuurkunde van o.a. Newton: theorieën die juiste voorspellingen doen bij lage snelheden en grote afmetingen. Bij kleinere afmetingen gaat dat mis; daar voorspelt de quantummechanica beter. Bij snelheden groter dan zeg tien procent van de lichtsnelheid moet je enerzijds werken met de algemene relativiteitstheorie of de quantumveldtheorie.

2 Verband

→ Web-app met een functieplotter.

Een schaalwet zegt iets over hoe de eigenschappen van een systeem veranderen als je het groter of kleiner maakt. Daarbij gebruik je het begrip verband. Als je een voorwerp vergroot (opschaalt) of verkleint (neerschaalt) krijg je te maken met andere verhoudingen tussen massa en afmetingen. Je kunt dan gebruik maken van het feit dat je massa $m$ en volume $V$ aan elkaar kunt koppelen via de dichtheid $\rho$: \begin{equation} m=\rho V \propto \rho \, r^3.\tag{h.2} \end{equation}

Verhouding

Een verhouding is een ander woord voor een breuk. Bijvoorbeeld de verhouding tussen de gemeten vermogens $P_1$ tot $P_2$ van een ster op verschillende afstanden $r$ is: \begin{equation} \frac{P_1}{P_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}.\tag{h.1} \end{equation} Wat je herkent als de kwadratenwet.

De natuur kent een beperkt aantal manieren waarop twee grootheden van elkaar afhangen. Of anders gezegd: De natuur heeft slechts een beperkt aantal verbanden. (En waarom dat zo is, is een vraag voor filosofen.)

Evenredig

Evenredig wil zeggen dat beide grootheden op een soortgelijke manier veranderen; dat geef je aan met het symbool $y \propto x$. Daar staat: als $x$ toe- of afneemt dan neemt $y$ ook toe of af.

Rechtevenredig

Een rechtevenredig verband wil zeggen dat beide grootheden gelijkmatig toe- of afnemen: $y \propto x$a. Bijvoorbeeld $m =\rho V \Rightarrow m \propto V$; tweemaal zoveel volume, tweemaal zoveel massa.

Omgekeerd evenredig

Een omgekeerd evenredig verband houdt in dat als de ene grootheid $n\times$ toeneemt, de andere grootheid $n\times$ afneemt: $y \propto 1/x$b. Bijvoorbeeld $f=c/\lambda \Rightarrow f \propto 1/\lambda$, tweemaal zo grote golflengte, tweemaal zo kleine frequentie.

Kwadratisch

Bij een kwadratisch verband neemt de ene grootheid $n\times $ toe en de andere $n^2$ maal toe: $y \propto x^2$c. Bijvoorbeeld $F_l=1/2 \,c_w \, A \, \rho v^2 \Rightarrow F_l \propto v^2$, tweemaal zo snel, vier maal zoveel wrijvingskracht.

Omgekeerd kwadratisch

Een omgekeerd kwadratisch verband houdt in dat als de ene grootheid $n\times $ toe neemt de andere $n^2$ maal afneemt: $y \propto 1/x^2$d. Bijvoorbeeld: de bijvoorbeeld de kwadratenwet of bij gravitatie: $F_g=GmM/r^2 \Rightarrow F_g \propto 1/r^2$, tweemaal zo grote afstand, viermaal zo kleine kracht.

Exponentieel

Het exponentiele verband kenmerkt zich als $y \propto k^x$. Bijvoorbeeld $N=N_0 (1/2)^{t/\tau} \Rightarrow N \propto (1/2)^{t/\tau}$.

Lijntekening van vijf verschillende soorten verbanden.
Figuur h.2 Evenredige verbanden: (a) Recht-; (b) Omgekeerd-; (c) Kwadratisch-; (d) Omgekeerd kwadratisch-; (e) Exponentieel.

3 Verandering in tijd

Verandering van een grootheid beschrijf je in de natuurkunde met het symbool $\Delta$: \begin{equation} \Delta ... = ..._2 - ..._1,\tag{h.3} \end{equation} waarbij de indices duiden op de waarde van de grootheid op het tweede tijdstip (later) en op het eerste tijdstip (eerder). Als een verschil erg klein is, geef je dat vaak aan met $d$; $\Delta t = dt$ is een kleine hoeveelheid tijd.

Heel erg veel natuurkunde gaat over de verandering in de tijd (evolutie) van een grootheid. Om Einstein te parafraseren: ‘Zonder tijd gebeurt alles tegelijk.’ Net zoals de natuur maar een beperkt aantal verbanden hanteert, zo blijkt de natuur ook slechts een beperkt aantal manieren van verandering in de tijd te hebben.

Geen verandering

Een grootheid $G$ verandert niet in de tijd: \begin{equation} \frac{dG}{dt}=0.\tag{h.4} \end{equation} Er is dan sprake van een behoudswet. Noether liet zien dat behoudswetten gekoppeld te zijn aan symmetrieën. Energie is bijvoorbeeld symmetrisch in de tijd: Voor en na een proces is de totale hoeveelheid energie gelijk.

Verandering is constant

De verandering $dG$ is constant in de tijd: \begin{equation} \frac{dG}{dt}\propto c.\tag{h.5a} \end{equation} Een voorbeeld is een eenparige beweging: \begin{equation} \frac{dx}{dt} = c \rightarrow dx = vdt.\tag{h.5b} \end{equation} Dit leidt tot een rechtevenredig verband. Een model dat voldoet aan dit verband noem je een eerste orde systeem.

Verandering hangt af van een tweede variabele

Verandering van de grootheid $G$ is evenredig met een variabele die zelf ook verandert in de tijd. \begin{equation} \begin{cases} \frac{dG}{dt} \propto H,\\ \frac{dH}{dt} \propto c. \tag{h.6a} \end{cases} \end{equation} Een model dat voldoet aan dit verband noem je een tweede orde systeem. Bijvoorbeeld een versnelde beweging levert een kwadratisch verband: \begin{equation} \begin{cases} \frac{dx}{dt} \propto v,\\ \frac{dv}{dt} \propto a, \tag{h.6b} \end{cases} \end{equation} wat je ook kunt schrijven als: \begin{equation} \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{dx}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} \propto a.\tag{h.6c} \end{equation} Een oplossing is $x=½ \, a t^2$.

Verandering hangt af van de variable zelf

Verandering is afhankelijk van de grootte van de variabele zelf: \begin{equation} \frac{dG}{dt} \propto G.\tag{h.7a} \end{equation} Dit leidt tot een exponentieel verband. Bij systemen is hier sprake van terugkoppeling: De waarde van de grootheid heeft invloed op de toe- of afname. Je komt dit verband tegen bij afkoeling en ook bij natuurlijk verval van radioactieve kernen. Bij dat laatste is het aantal deeltje dat vervalt afhankelijk van het aantal deeltjes dat nog over is: \begin{equation} \frac{dN}{dt}=-kN.\tag{h.7b} \end{equation} Een oplossing is: $ln (N) = -kt \leftrightarrow N = e^{-kt}$.

Verandering is gekoppeld tussen twee variabelen

Verandering is afhankelijk van een variabele die op zijn beurt weer afhankelijk is van de oorspronkelijke waarde van $G$. \begin{equation} \begin{cases} \frac{dG}{dt} \propto H,\\ \frac{dH}{dt} \propto G.\tag{h.8a} \end{cases} \end{equation} Waaruit onder andere volgt: \begin{equation} \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{dG}{dt} = \frac{d^2G}{dt^2}\propto G.\tag{h.8b} \end{equation} Dit leidt tot oscillaties. Een voorbeeld is een harmonische trilling die je kunt beschrijven als: \begin{equation} -Cu = ma \rightarrow \frac{d^2u}{dt^2} = -(C/m)\, u.\tag{h.8c} \end{equation} Een oplossing is $u(t)=A \sin (2\pi t/T)$.

4 Model

Een model is een soort surrogaat (zeg: neppe) beschrijving van de werkelijkheid die je meestal hanteert omdat de werkelijke wereld te ingewikkeld is om volledig en precies te beschrijven. Modellen kom je in enorm veel vakgebieden en wetenschappen tegen: In de biologie bijvoorbeeld het Lotka-Volterra-model voor jager- en prooi-populaties of het dubbele-helix model van DNA; psychologen hanteren het Atkinson-Shiffrin1968-model over het geheugen; in de beschrijving van het aardoppervlak hanteren wetenschappers een model van plaattectoniek; lucht-stromingen in de atmosfeer kun je beschrijven met Lorenz-systemen; het Centraal Plan Bureau hanteert modellen over de Nederlandse economie enzovoort.

Een model levert voorspellingen van de uitkomsten van metingen. Bij de natuurkunde op school kom je veel modellen tegen; bijvoorbeeld al bij de beschrijving van de eenparige versnelde beweging door middel van het model $s= ½ \, gt^2$. Andere voorbeelden zijn: Voorwerpen voorstellen als puntmassa’s of het atoommodel van Bohr.

Ruwweg kun je een aantal soorten modellen onderscheiden:

Bij het modelleren wil je dus de werkelijkheid nabootsen. Globaal doe je dat in twee stappen: Eerst bouw je model aan de hand van bestaande (natuurkundige) kennis en daarna ga je dat model evalueren; waarbij je onderzoekt of het model inderdaad overeenkomt met de werkelijkheid. Is je model eenmaal passend (genoeg), dan kun je het gaan hanteren om bijvoorbeeld simulaties te gaan uitvoeren wat wil zeggen dat je veranderingen aanbrengt in het model en onderzoekt wat de gevolgen daarvan zijn.

Numeriek modelleren heeft twee grote voordelen. (1) Een computer met voldoende rekenkracht is genoeg; je hebt geen dure of grote experimentele opstellingen nodig. (2) Is het model eenmaal in grote lijnen klaar, dan kun je onderzoeken wat het effect is van wijzigingen in de beginwaarde van variabelen om vervolgens het model weer geheel door te rekenen.

Voor numeriek modelleren heb je een computerprogramma nodig, bijvoorbeeld coach7, zie modelleren.❰

laatste aanpassing: 26-8-2019.