3e8.nl

F1 Quantumwereld

Leestijd: circa 14 minuut.

❱Quantum-natuurkunde blijkt veel vragen op te roepen, meer dan andere onderwerpen en zeker niet alleen bij leerlingen. Onderaan deze pagina zal ik proberen wat antwoorden te geven.

1 Quantisering

Letterlijk betekent quantum (of kwantum volgens wikipedia) zoiets als discreet of niet-continu. Denk hierbij aan de energiekorrels of -pakketje van Planck. Maar ook de kleinste hoeveelheid magnetisme blijkt te komen in pakketjes, elektronen hebben maar twee oriëntaties, fotonen hebben slechts specifieke energieën, enzovoort.

1.1 Bohr-model II*

→ Web-app: bohr-model waterstof.

Laten we opnieuw kijken naar het model van waterstof van Niels Bohr. Volgens dit model uit 1913 bevindt het elektron zich uitsluitend in vaste banen met iedere baan een specifieke — gequantiseerde — energiewaarde. Bohr berekende die energieën $E-n$: \begin{equation} E_{n}=-~\frac{13,6\,\text{eV}}{n^{2}}. \tag{f1.1} \end{equation} De banen duidde hij aan met de letter $n$ — later het hoofdquantumgetal genoemd — wat je bij scheikunde leert als de schillen K, L, M, ... ($n=1, 2, 3, ... $). Let ook op het min-teken.

Bohrs model gaat uit van een potentiaalput waarbij $n=1$ het laagste niveau is met een bijbehorende energie van $E=-13,6$ eV. Geef je precies deze (ionisatie)energie aan waterstof, dan maak je het elektron geheel vrij en heb je een los proton en een los elektron. Met zijn model kon Bohr ook de straal uitrekenen van waterstof (de bohr-straal $a_{0}\approx 5\cdot 10^{-11}$ m) en die stemde overeen met de gemeten waarde. En daarnaast kon het model de spectraallijnen uitleggen.

*Lees in domein e2 voor bohr-model I.

Achterhaald

Er is wel een groot probleem met het bohr-model namelijk dat het niet meer werkt bij atomen met meer dan drie of vier elektronen zoals al bij Lithium. Historisch gezien, is het bohr-model uiteindelijk slechts een tussenstap gebleken. Het moderne quantum-model van waterstof is gebaseerd op de golffunctie van Erwin Schrödinger, bevat nog steeds het quantumgetal $n$ maar niet meer de cirkelbanen van Bohr.

1.2 Foto-elektrisch effect

→ Web-app: foto-elektrisch effect, of deze: foto-elektrisch effect II.

Een metaal dat je oplaadt met elektronen, kun je ontladen door het te beschijnen met (ultraviolet) licht: het foto-elektrisch effect.

Lijntekening van het foto-elektrisch effect zoals verloopt in een energie-diagram.
Figuur f1.1 Het foto-elektrisch effect. Elektronen bevinden zich in een potentiaalput. (a) Als stralingsenergie $E=hf$ op een metaal valt (bijvoorbeeld natrium), dan kan deze energie — mits genoeg — een elektron optillen in de potentiaalput. (b) Een foton met de grensgolflengte bevat precies genoeg energie om de uittree-energie $W_u$ te leveren waarmee een elektron vanaf de bodem naar de top van de put gaat. (c) Als het foton nog meer energie heeft, vertrekt het elektron met $E_k=hf-W_u$.

Albert Einstein gaf in 1905 een verklaring voor dat ontladen. Hij startte bij het idee dat het elektron zich bevindt in een potentiaalput en combineerde dat met Max Planck’s theorie dat elektromagnetische straling zich gedraagt als een energiepakketje (foton).

Als het foton op het metaal valt, draagt het zijn energie over aan het elektron in de put. Einstein redeneerde dat het elektron vrij komt als het foton precies een hoeveelheid energie $E_f$ heeft ter grootte van de diepte van de put, die hoeveelheid energie noemde hij de uittree-energie $W_u$. Met andere woorden als $E_f=W_u$ dan komt het elektron precies vrij uit het metaal. Mocht het foton echter meer energie hebben, dan gaat het energieoverschot met het elektron mee in de vorm van kinetische energie $E_k$: \begin{equation} E_k=E_f- W_u = hf-W_u, \tag{f1.2} \end{equation} met $f$ de ferquentie van het foton en $h$ de constante van Planck. Bij de uittree-energie past een zogeheten grensgolflengte: $W_{u}=hc/\lambda_{g}$.

Samengevat had de theorie van Einstein over het foto-elektrisch effect twee gevolgen: (a) het toonde overduidelijk aan dat licht in energiepakketjes kwam (gequantiseerd was), en (b) Robert Millikan bepaalde ermee heel precies de grootte van de Planck-constante. Die staat tegenwoordig op: \begin{equation*} h = 6.626070040(81)\cdot 10^{-34} \,\text{Js}. \end{equation*}

2 Dualiteit

→ Web-app: interferentie met golven.

In de klassieke natuurkunde was het helder hoe je verschijnselen kon verklaren. Isaac Newton gaf de regels hoe puntmassa’s op elkaar en op krachten reageren. Charles Coulomb deed hetzelfde voor ladingen. Daarnaast kun je verschijnselen ook beschrijven door te redeneren vanuit energie. Zo kun je bijvoorbeeld energie verplaatsen in de vorm van bewegende massa: $E_k= ½ \, mv^2$, waarbij $E_k$ de kinetische energie, $m$ de massa is en $v$ de snelheid van de massa.

Naast puntvoorwerpen waren er golven en Christiaan Huygens legde uit hoe die zich voortplantten. Hij liet onder andere zien dat een kenmerk van golven is dat ze door elkaar heen kunnen bewegen en dat ze interfereren waarbij een patroon van minima en maxima ontstaat. Young liet zien dat licht (elektromagnetische straling) ook golfgedrag vertoont.

Dat was de stand van zaken in de natuurkunde tot ongeveer 1870.

De verklaring van het foto-elektrisch effect in 1904 liet echter zien dat je elektromagnetische straling ook kunt beschouwen als een stroom van energiepakketjes. De Amerikaan Arthur Holly Compton liet in een experiment fotonen zelfs stuiteren, zoals deeltjes dat kunnen doen. Hij kon zijn resultaten uitleggen door het gedrag van de lichtdeeltjes te beschrijven als botsende biljartballen.

De wellicht verwarrende conclusie die je uit de bovenstaande experimenten kunt trekken, is dat je de uitkomst van een proef met licht soms kunt beschrijven door te redeneren vanuit golven en soms door te redeneren vanuit deeltjes. Maar deeltje of golf verklaarde slechts een aantal experimenten, en niet alle. Niels Bohr noemde deze twee verschillende verklaringen over het gedrag van licht de dualiteit tussen golf- en deeltjesgedrag.

2.1 DeBroglie-golflengte

→ Web-app: elektronen diffractie.

Louis de Broglie ging nog een stap verder. Hij vroeg zich af of een puntdeeltje met een massa $m$ ook een golf kon zijn en dus golflengte $\lambda$ of en frequentie $f$ kon hebben. Daartoe combineerde hij Plancks vergelijking $E_{\text{foton}}=hf$ met Einsteins vergelijking $E_{\text{massa}}=mc^2 :$ \begin{equation} E_{\text{massa}}\leftrightarrow E_{\text{foton}} \Rightarrow \underbrace{mc^2}_{\text{deeltje-gedrag}}\leftrightarrow \underbrace{hf}_{\text{golf-gedrag}}, \tag{f1.3} \end{equation} met $c$ de lichtsnelheid. De Broglie leidde daaruit af dat materie ook een golflengte moest hebben: \begin{equation} \lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}, \tag{f1.4} \end{equation} met $p$ de impuls van het deeltje met een snelheid $v$. In feite zei hij met deze vergelijking dat een deeltje — met klassieke eigenschappen zoals massa en impuls — ook golfgedrag kan vertonen.

De Broglie gaf aan bij welk experiment hij vermoedde dat dit gedrag viel waar te nemen: Als je elektronen door een spleet (in dit geval een kristal) stuurt, krijg je een interferentiepatroon. In 1923 deden Davisson-Germer dat experiment en bewezen het gelijk van De Broglie. Op school doen we dit elektronendiffractie experiment dikwijls ook.

Ondanks dit experiment en de logische vragen die daar op volgden zoals: ‘Wat is een elektron nou eigenlijk, een deeltje of een golf?’, wilde vooral Niels Bohr geen antwoord geven. Hij meende dat beide vragen gebaseerd waren op de klassieke natuurkunde. Die vragen waren in de quantummechanica niet meer relevant, vond hij. Volgens Bohr hoefde de natuurkunde alleen maar uitkomsten van experimenten te verklaren. Soms kon dat met golf-gedrag, soms kon dat met deeltjes-gedrag.

De Broglie voegde daar later nog aan toe:

‘Men verwacht een strijd tussen het deeltje- of het golfgedrag. Die vindt echter nooit plaats omdat bij het experiment slechts één van beide komt opdagen.’

De debroglie-golflengte kom je tegen bij een elektronenmicroscoop. Hierbij schiet je elektronen op een voorwerp dat je wilt onderzoeken. Hoe kleiner de golflengte (hoe groter de impuls en de energie) hoe kleinere objecten de microscoop kan bekijken. Meer algemeen geldt dat je quantumverschijnselen kunt verwachten als de debroglie-golflengte van een deeltje ongeveer dezelfde afmeting $d$ heeft als de omgeving: $\lambda_{b}\approx d$.

deeltje-gedrag golf-gedrag
materie $E=½ \, mv^2$
$p=mv$
klassiek
$\lambda=h/p$
quantum
straling $E=hf$
$p=E/c$
quantum
$\lambda=c/f$
klassiek
Tabel f1.1 De interpretatie van dualiteit nadat de experimenten met de debroglie-golflengte waren uitgevoerd. In de klassieke natuurkunde beschreef je materie met deeltjes-gedrag en straling met golf-gedrag. Met de quantummechanica kwam daar een andere interpretatie bij. Planck, Einstein en Compton lieten zien dat je experimenten met straling ook kon beschrijven door uit te gaan van deeltjes-gedrag: een foton. Davisson-Germer toonden het gelijk van De Broglie aan: Materie (een deeltje) vertoont ook golf-gedrag.
Voorbeeldopgave: vwo-2019-II-16, 2 punten

Voor de debroglie-golflengte van de elektronen geldt: $$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2emU}}.$$ Vraag: Bereken de debroglie-golflengte van de elektronen nadat ze een versnelspanning van 5,0 kV hebben doorlopen.

Berekening: kwestie van alle gegevens invullen. $$\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 1,60 \cdot 10^{-19}\cdot 9,11 \cdot 10^{-31}\cdot 5,0 \cdot 10^3}}=1,7 \cdot 10^{-11}\,\text{m}.$$

3 Quantummeting: kans

→ Web-app: Galtonbord. Of: Bij een constante snelheid waar is het blok het meeste? En bij een massa-veer systeem?

Werner Heisenberg formuleerde in 1924 de huidige (moderne) quantumtheorie. Hij introduceerde daarbij het begrip kans. De formulering van Heisenberg geeft enerzijds alle mogelijke uitkomsten van een meting en anderzijds de kans bij iedere uitkomst.

Een voorbeeld maakt dat wel duidelijk. Vergelijk daartoe een quantum-meting met het ‘meten van het aantal bovenste ogen’ na het gooien van een dobbelsteen. Bij de dobbelsteen kun je van tevoren exact aangeven: (a) de uitkomsten die mogelijk zijn: $(1,2,3,4,5,6)$ ook wel de uitkomstenruimte genoemd, en (b) wat de bijpassende kans $P$ is op iedere uitkomst, $P(1)=1/6, P(2)=1/6$ enzovoort, zie figuur f1.2a. Maar welke exacte uitkomst een meting gaat opleveren, kun je van tevoren niet voorspellen. Met andere woorden: je kunt vooraf slechts statistische uitspraken doen.

Bij de quantummechanica van Heisenberg heb je vaak dezelfde situatie: Bij een meting is de uitkomstruimte precies bekend en is ook bekend wat de kans is bij iedere uitkomst. Maar evenals bij de dobbelstenen kun je geen exacte uitspraak doen wat de eerst volgende meting gaat opleveren.

Lijntekening van drie kansverdelingen; twee discreet en een derde continu.
Figuur f1.2 Theoretische kans- of waarschijnlijkheidsverdeling: (a) Bij een dobbelsteen; (b) bij twee dobbelstenen; en (c) bij een deeltje in een doos.

Een ander gevolg is dat als je in een quantumexperiment van tevoren niet de uitkomstenruimte kent, één enkele meting werkelijk niets duidelijk maakt. Immers één keer de waarde ‘zestien’ meten aan het gooien met een onbekend aantal dobbelstenen wil niet zeggen dat ‘zestien’ de waarde is van de dobbelstenen. Pas na heel erg vaak herhaald meten aan hetzelfde systeem, kom je te weten welke waarden je allemaal kunt meten (hoe de uitkomstenruimte eruit ziet); en dan pas wordt duidelijk welke waarschijnlijkheidsverdeling daarbij hoort.

3.1 Onbepaaldheidsrelatie

Eén van de gevolgen van Heisenbergs theorie is de onbepaaldheidsrelatie: Je kunt bij het doen van een serie metingen niet gelijktijdig heel precies plaats $\Delta x$ EN heel precies impuls $\Delta p$ bepalen. Heisenberg formuleerde dit als: \begin{equation} \Delta p \Delta x \geqq \frac{h}{4\pi}. \tag{f1.5} \end{equation} Let op het $\geqq$ teken; het gaat in deze relatie om een minimum. Met andere woorden: het product van de werkelijke gemeten onbepaaldheden zal in het algemeen groter zijn dan $h/4\pi$. De bovenstaande relatie geldt overigens voor ieder product van grootheden dat als eenheid $Js$ heeft, dus ook voor de combinatie van energie $\Delta E$ en tijd $\Delta t$ is Heisenbergs onbepaaldheid geldig.

Bohr vond dat Heisenbergs onbepaaldheidsrelatie het idee van dualiteit verwoordde. Na een meting weet je of de plaats (een deeltjes eigenschap); of de impuls (impuls hoort volgens de Broglie bij een golf). Welke je weet, hangt af van het soort experiment dat je uitvoert.

Copenhaagse interpretatie

→ Web-app: quantum interferentiepatroon.

In essentie zegt de quantummechanica volgens Bohr, Heisenberg, Pauli (later de copenhaagse interpretatie van de quantummechanica genoemd): (a) Stop met het verzinnen van atoommodellen want we kunnen het toch niet meten, (b) het antwoord op een quantummeting is alles wat we hebben, en (c) toeval zit ingebakken in de natuur. Onder andere Einstein was het daarmee heel erg oneens. Een elektron bestaat of we het nu meten of niet. Hij stelde een tegenvraag: ‘Bestaat de maan als niemand kijkt?’

Een twee-spletenexperiment uit 1982 met elektronen laat in eerste instantie stipjes zien. Wat zegt dit: Het elektron is een puntmassa en de precieze plaats is bekend? Maar als je wacht, blijken de stipjes uiteindelijk een interferentiepatroon te vormen; en dat wijst op golfgedrag. Zijn elektronen dus toch golven of kunnen elektronen interfereren met zichzelf? Wat moet je nu concluderen met dit experiment? De quantummechanica geeft geen antwoord.

3.2 Golffunctie

Twee jaar naar Heisenberg kwam Erwin Schrödinger met een alternatief idee om het elektron bij waterstof voor te stellen als een zogeheten golffunctie; deze zou dan de toestand aangeven van het elektron. Het was aanvankelijk niet helemaal duidelijk waarvoor je die golffunctie moest gebruiken vooral omdat de golf zuiver wiskundig was en je het ding bovendien niet kon meten.

Lijntekening van een golffunctie van een elektron in 1s niveau van waterstof.
Figuur f1.3 (a) In het Schrödingermodel van waterstof heeft het elektron pas een plaats als het is gemeten. Je hebt dus heel veel herhaalde metingen nodig (2500 hier) om een gemiddeld beeld te krijgen van de plaats van het elektron. Dan blijkt dat het elektron (in de grondtoestand $E_1$) in een soort wolk om de kern zit met de meeste metingen op een afstand van de Bohr-straal $a_{0}$. (b) Het kwadraat van de golffunctie $\psi^2$ geeft een kansverdeling aan waar het elektron zich kan bevinden.

Inmiddels is de golffunctie een dagelijks gebruikt ding in de quantummechanica. Bijvoorbeeld de eendimensionale golffunctie $\psi(x,t)$ beschrijft de toestand van een systeem; dat kan een waterstofatoom zijn maar ook een groep fotonen of een elektron in een doos. Het was uiteindelijk Max Born die uit legde hoe je de golffunctie diende te interpreteren: Het kwadraat van de golffunctie levert een waarschijnlijkheidsverdeling op en die voorspelde de kans van een bepaalde uitkomst.

Volgens Born was een meting eigenlijk een vraag aan de golffunctie. De uitkomstenruimte zijn (door de natuur) van te voren bekend en de kansen op de uitkomsten zijn verdeeld volgens een kansverdeling, zie figuur f1.2c. Het kwadraat van de golffunctie geeft die kans op het meten van een waarde: \begin{equation} P( \text{grootheid}=\text{meetwaarde})\propto |\psi|^2. \tag{f1.6} \end{equation}

4 Toepassing van quantum

Een eenvoudig systeem zoals een elektron in een potentiaalput kun je relatief makkelijk met de golffunctie beschrijven. Als je dat uitvoert, blijkt dat door de begrenzing van de put de energieniveau’s van de golffunctie, gequantiseerd raken, zie figuur 1.4.

Lijntekening van een deeltje in een doos; oneindige en een eindige diep.
Figuur f1.4 Modellen van een elektron in een quantum-potentiaalput: (a) Bij een oneindig diepe doos is de energie gequantiseerd volgens $E_{n}=n^2h^2/8m_{e}L^{2}$; en (b) bij een eindig diepe energiedoos/put passen nog maar een beperkt aantal niveau’s in de put, afhankelijk van de breedte van de put en de massa van het deeltje.

4.1 Deeltje oneindig diepe doos

→ Web-app: deeltje in oneindig diepe doos. Hoe zien de golffuncties I en deze golffuncties IIer uit?

Bekijk een denkbeeldige oneindig diepe ééndimensionale potentiaalput (de doos) met een breedte $L$ zie figuur f1.4a. De potentiaal binnen de doos is nul en daarbuiten is de potentiaal oneindig groot ($V=\infty$). In de doos bevindt zich een deeltje met een massa $m$ en een energie $E$: \begin{equation} E=½ \, mv^2=\frac{p^2}{2m}, \tag{f1.7a} \end{equation} waarbij $m$ de massa is van het deeltje, $v$ de snelheid en $p$ de impuls. Als het deeltje een golf is, past volgens De Broglie alleen een veelvoud van $\lambda /2$ in de doos. Dat wil zeggen: \begin{equation} n \frac{\lambda}{2}=L\qquad \leftrightarrow \qquad \lambda =\frac{2L}{n}. \tag{f1.7b} \end{equation} Combinatie van de energie, debroglie-golflengte en de voorwaarde van vergelijking (1.7b) levert de energieniveaus van het deeltje in de oneindig diepe doos: \begin{equation} E_n= \frac{p^2}{2m}=\frac{h^2}{2m \lambda^2}=\frac{ h^2 \cdot n^2}{2m \cdot (2L)^2} =\frac{n^2 h^2}{8mL^2}, \tag{f1.8} \end{equation} met $n=1,2,3, ...$ en $h$ uiteraard de constante van Planck.

Deze relatie laat een aantal dingen zien: (a) De energieniveau’s die het deeltje kan hebben, zijn gequantiseerd, (b) in de laagste energietoestand ($n=1$) heeft het deeltje nog steeds energie: $E_1\neq 0$, dit noem je de nulpuntsenergie ($E=0$ is dus onmogelijk!), (c) de afstand tussen de energieniveau’s neemt kwadratisch toe (in plaats van kwadratisch af volgens het bohr-model), en (d) het deeltje heeft nooit genoeg energie om uit de doos te raken met andere woorden het zit echt opgesloten in de doos.

De quantisering van de energie heeft directe gevolgen voor de golffunctie. Het blijkt dat iedere energietoestand $E_n$ een eigen golffunctie $\psi_{n}$ heeft analoog — maar niet gelijk aan — een staande golf in een koord met twee vaste uiteinden. De toestand van een deeltje met energie $E_1$ kun je beschrijven met golffunctie $\psi_1$. Die toont één maximum, zie figuur 1.5a. Toestand $E_2$ toont $\psi_2$ twee maxima enzovoort, zie figuur f1.5a. Let op dat de golffunctie bij de oneindige diepe doos exact nul is op de randen $x=0$ en $x=L$.

Zou je nu de plaats van het deeltje willen meten, dan stel je volgens Born een vraag aan de golffunctie. Van tevoren weet je de uitkomstenruimte: $0 < x < L$. Bij een energie van bijvoorbeeld $E_2$ en de bijpassende golffunctie $\psi_2$ geeft $P(x)=\psi(x)^2$ de kans bij iedere mogelijke uitkomst. Uit het kwadraat van figuur f1.5a kun je dan opmaken dat je deeltje niet op $x=0, x=½L$ of $x=L$ gaat meten. Daarentegen is de kans het grootste dat je het deeltje vindt op $x=L/4 L$ of $x=3L/4$.

Lijntekening van de eerste twee toestanden van een golffunctie van een deeltje in een doos; oneindig en eindig diep.
Figuur f1.5 Golffuncties bij een ééndimensionale energiedoos/potentiaalput. (a) Bij een oneindig diepe doos passen de golffuncties exact in de doos. De golffuncties tonen een overeenkomst met staande golven. (b) Bij een eindig diepe doos heeft de golffunctie nog een hele kleine waarde buiten de doos, zie het groene gebiedje links en rechts. Kennelijk kan het deeltje zich soms in de wand van de doos bevinden. Als de wand ook nog heel dun is (de gestreepte wand rechts), kan het deeltje — met te weinig energie om over de wand te gaan— zich toch buiten de doos bevinden: het is getunneld.

4.2 Deeltje eindig diepe doos

→ Web-app: eindig diepe doos

Als je de oneindige diepe potentiaalput nu eindig diep maakt, gebeuren twee dingen. Ten eerste passen nog maar een paar energieniveau’s in de diepte van de doos en ten tweede dringt de golffunctie door in de wand, zie figuur f1.5b.

Vooral dat laatste is zeer opmerkelijk: Dat de golffunctie nu daar bestaat, houdt in dat er een kans is, met grootte $\psi^{2}$ dat je het deeltje in de wand meet. Ook dit is weer een enorm verschil met een klassieke situatie waarbij het onmogelijk is dat een deeltje in een potentiaalput zich soms in de wand bevindt (of buiten de put).

5 Tunneling

→ Web-app: tunneling

Qumtum-tunneling is het verschijnsel dat een deeltje in een eindig diepe potentiaalput zich ergens in de tijd toch buiten de put bevindt. Je kunt dat uitleggen door naar de golffunctie te kijken, zie figuur f1.5b. Het blijkt dat deze in het geval van de eindig diepe doos ook in de wand een waarde heeft. Als zo’n wand ook nog dun is, bestaat de mogelijkheid dat het deeltje buiten de put valt te meten: Het deeltje is door de wand getunneld.

Tunnelen kun je overigens ook uitleggen met Heisenbergs&rsquo vergelijking f1.5: $\Delta p \Delta x = h/2\pi$. De onbepaaldheidrelatie geldt niet alleen over impuls en plaats, maar voor het product van iedere twee grootheden die de eenheid Js oplevert; dus ook $\Delta E \Delta t = h/2\pi$. Met deze laatste vergelijking kun je zeggen dat het deeltje gedurende een hele korte tijd genoeg energie ‘leent om over de wand te gaan’; mits het daarna maar de geleende energie weer teruggeeft.

De kans dat een deeltje tunnelt, neemt af als het deeltje een grotere massa $m$ heeft of als de energiewanden $\Delta E$ van de potentiaalput hoger zijn ten opzichte van de energie van het deeltje: \begin{equation} P \propto\psi^{2}\propto \frac{1}{m \times \Delta E}. \tag{f1.9} \end{equation} De scanning-tunneling microscoop maakt gebruik van het verschijnsel: Door een naald (enkele atomen dik) heel dicht bij een oppervlak te brengen, kunnen elektronen tunnelen van de punt van de naald naar het oppervlak. Meting van de elektronen-stroom levert informatie over het oppervlak. Daarnaast is tunneling ook de reden dat in een ster fusie van waterstof tot helium kan plaatsvinden: Als twee positieve protonen elkaar naderen, stoten ze elkaar af. En heel soms (maar kennelijk vaak genoeg) tunnelen de protonen door die afstotende energiewand en vormen Helium.

En dat is wat je op het vwo over quantum moet weten.❰

6 Meneer, mogen we nog iets vragen?

Leestijd: circa 6 minuut.

Quantum is een onderwerp waarover je veel moet praten en lezen. Hieronder een (niet uitputtend) lijstje met opmerkingen die leerlingen in mijn klas soms maken.

Hoezo is quantum-mechanica nodig?

Hierbij is de onderliggende gedachte dat de mechanica van vooral Newton alle verschijnselen wel kan beantwoorden. Simpel gezegd is het antwoord: ‘Nee, de ideeën van Huygens, Newton, Ampère, Coulomb en Lorentz waren rond 1900 niet meer genoeg.’ En dat bleek vooral uit een aantal hardnekkig onverklaarbare experimenten. Houdt daarbij voor ogen dat natuurkunde in de eerste plaats een theorie is die de uitkomst van metingen voorspelt.

Wanneer geldt quantum?

Amerikaan Murray Gell-Mann zei in 1969: ‘Quantum mechanics is not a theory, but rather a framework within which we believe any correct theory must fit.

Je krijgt met quantumverschijnselen te maken als je experimenten gaat doen of wilt verklaren aan zaken die kleiner zijn dan zeg $10^{-7}$ meter; of bij extreem lage temperaturen (1 Kelvin), of in extreem korte afstanden of tijden.

Tot ongeveer 1880 konden wetenschappers niet in dat gebied onderzoek doen; vandaar dat men toen nog geen problemen had met de natuurkunde.

Wat heb ik er aan?

Veel. Kijk: 5 uses of QM. En houd komende jaren quantuminformatie in de gaten.

Quantum is vaag meneer.

Niet echt. Met een significantie van inmiddels tien cijfers, is de quantum-theorie — samen met de relativiteitstheorie — één van de meest precieze en ook meeste getestte theorieën van de natuurkunde.

Quantummechanica is een theorie die (net als de drie wetten van newton) met vier postulaten hele precieze voorspellingen doet over de uitkomsten van metingen.

Maar quantum is zo anders!

Inderdaad. Het zit vooral in dat quantum mechanica — vooralsnog — (a) het begrip kans verankert in de natuurkunde, en (b) geen bekend antwoord geeft op bijvoorbeeld de vraag wat dingen zijn, een deeltje of een golf bijvoorbeeld.

Maar verwar niet ‘anders’ met ‘onwaar’ of ‘niet te begrijpen’. Net zoals veel zaken in het leven, kost het soms tijd om te wennen dat iets anders is dan je gewend bent. Zie Aristoles’ idee over vallen een idee dat nog steeds veel kinderen hanteren. Begrijpen betekent soms accepteren dat zaken anders zijn dan je dacht/wilt/gewend was.

Is de natuurkunde nu klaar?

Dat is een goeie vraag. Ondanks alle bovenstaande argumenten is er wel een groot probleem. Bij meten treedt kans op en is er als het ware een discontinuïteit tussen voor - en na de meting. Heb je eenmaal gemeten, dan kun je met geen mogelijkheid nog redeneren naar de toestand voorafgaand aan de meting. Niet de minste natuurkundigen vinden dit een groot bezwaar. Quantum is slechts een tussentheorie, straks komt een betere, menen ze.

Eh... ze zijn het er zelf ook niet over eens!

Inderdaad, zie de vorige opmerking. Er is ook binnen de groep natuurkundigen die het kunnen weten, veel verschil van visie wat quantum betekent, of het klaar is enz.

Kunt u even de Schrödinger-vergelijking uitleggen?

Hier komt het één-dimensionale geval: \begin{equation} i\frac{h}{2\pi}\frac{\partial}{\partial t}\, |\Psi(x,t)> = \hat{H}\, |\Psi(x,t)>. \tag{f1.11} \end{equation}

Ik doe een poging. De vergelijking start met het imaginaire getal $i$ (bij wiskunde-d leer je dan: $i^{2}=-1$). Zoals het woord imaginair al zegt: Je het kunt het niet meten. De golffunctie $\Psi$ bevat ook $i$ en kun je ook niet meten, maar door te kwadrateren valt $i$ weg en dus kun je wel $\Psi^2$ meten (denk aan Schrödinger en Born). Daarna constantes en dan $\partial / \partial t$. Het linker deel zegt in feite dat je wilt weten hoe de golffunctie $\Psi$ zich ontwikkelt in de tijd... en dat is afhankelijk van de rechterkant van de vergelijking.

Omdat je golffuncties kunt optellen, is het ding een soort vector. Dat betekenen de haken |..> die om de golffunctie staan. Tot slot: De rechterkant bevat een functie $\hat{H}$ die zegt hoe de energie is waarmee de golffunctie te maken krijgt.

Samengevat: De Schrödingervergelijking is de evolutiewet van de quantummechanica. Eigenlijk precies zoals Newtons tweede wet dat doet voor klassieke systemen.

Er is toch zo’n foto met alle quantumers?

Je bedoelt deze, figuur f1.6, het vijfde Solvay congres in 1927 over elektronen en fotonen. In dat jaar begint een samenhangende theorie vorm te krijgen, maar de natuurkundigen zijn het met elkaar nog niet eens over hoe ze die theorie moet interpreteren. De conferentie eindigde met een soort — voorlopige — zege voor de copenhaagse visie van Bohr, Heisenberg en Pauli (een meetresultaat is alles wat we hebben) en tegen de visie van onder andere Einstein en de Broglie (er bestaat een waarheid zonder dat we meten).

foto van het solvay-congres in 1927.
figure f1.6 Ingekleurde foto van de Solvayconferentie 1927. Die foto is genomen op de trap voor het gebouw van het voormalig instituut van fysiologie in Brussel. De kleuren van deze foto zijn volledig verzonnen. Op internet vind je twee versie’s van de foto die waarschijnlijk vlak achter elkaar zijn gemaakt.

In het midden vooraan zit Albert Einstein (48 jaar, zei tegen Bohr: ‘God dobbelt niet’) naast zijn goede vriend en voorzitter van de conferentie Hendrik Antoon Lorentz (74 jaar en de oudste; met pensioen van de universiteit van Leiden); naast hem de enige vrouw: Marie Curie (60 jaar; een van weinige mensen die tweemaal de nobelprijs won). Max Planck zit links van Curie met z’n bruine deukhoed in de hand. Hij is 69 jaar oud en een van de ouderen. Je zou bijna denken dat je het aan zijn gezicht kunt zien, maar Planck was ongelukkig met de hele quantisering van de natuurkunde. Planck heeft lang gehoopt en ook tevergeefs gezocht of de naar hem genoemde constante $h$ uiteindelijk op nul zou uitkomen.

Op de tweede rij helemaal rechts zit Niels Bohr (42 jaar, beantwoordde Einstein: ‘Vertel god niet wat ie moet doen’) en links naast hem Max Born (45 jaar, was de eerste die de term Quantenmechanik voorstelde). Naast Born met een wat lang gezicht zit Louis Victor Pierre Raymond de Broglie, zevende hertog de Broglie (35 jaar).

Op de achterste rij in het midden, in grijs kostuum met strik een beetje dromend in de verte te staren staat Erwin Schrödinger (40 jaar, schreef in 1927 de eerste serie artikelen waarin hij de nog los van elkaar staande theorieën over elektronen en golven, samenknoopte tot een geheel). Verder naar rechts staan twee jonkies Wolfgang Pauli (27 jaar, geboren in het jaar dat Planck $\epsilon=h\nu$ opperde; berucht is Pauli‘ uitspraak: ‘Das ist nicht einmal falsch!’ bedoelende ‘Het is zo slecht, het is niet eens fout!’)) en Werner Heisenberg (26 jaar; raakt later in Nazi-Duitsland betrokken bij de plannen voor een kernbom).

Verder vind je nog rechts achter Einstein Arthur Holly Compton met oranje das (35, een van twee niet-Europeanen), links achter Einstein Paul Dirac (met 25 jaar de jongste deelnemer, koppelde de Einsteins speciale relativiteitstheorie aan de golftheorie van Schrödingervan en voorspelde vervolgens het bestaan van anti-materie) en tussen Einstein en Curie zit Hendrik Kramers (33 jaar, werkte veel samen met Bohr en woonde later in Oegstgeest, bij Leiden). Helemaal links op de tweede rij zit Peter de Bye (43 jaar, geboren in Maastricht.)

Achter Curie staat zo te zien druk te praten de kleine Paul Ehrenfest (47 jaar). Hij werkte aan de universiteit van in Leiden en woonde aan de Witte Rozenstraat. Hij raakte goed bevriend met Einstein die bij hem thuis sliep als hij jaarlijks een maand aan de Leidse universiteit werkte. Ehrenfest was enorm gastvrij en nodigde overigens veel van de bovenstaande wetenschappers thuis uit. Alle die bleven slapen, zetten een handtekening (ontcijferde versie) op de muur, die er nog steeds schijnen te staan.

Meneer, u vindt quantum leuk he?

Ja. Prachtig. Heel mooi. Ik word er erg gelukkig van.

laatste aanpassing: 26-8-2019