3e8.nl

E1 Eigenschappen van stoffen en materialen

Leestijd: circa 6 minuut.

Eigenschappen van stoffen en materialen is weliswaar examenstof, maar wordt niet getoetst op het centraal examen; het is alleen van belang voor het schoolexamen. De inhoud van E1 kan verschillen per lesmethode/boek.

1 Statistiek met atomen

Domein E1 hanteert het idee dat je de beweging van atomen kunt beschrijven door uit te gaan van: (a) de interactie tussen puntmassa’s die zich gedragen volgens Newtons wetten, en (b) dat de richting van beweging willekeurig is en wordt doorgegeven door middel van botsen.

Een materiaal, een vloeistof of een gas bestaat uit een grote verzameling van puntmassa’s, zeg in de orde van $10^{20}$. Zulke grote aantallen kun je alleen nog maar globaal beschrijven. En dat gingen natuurkundigen, onder wie Ludwig Eduard Boltzmann, doen. Ze benaderden de groep atomen door te denken over de gemiddelde snelheid van de verzameling.

1.1 Mol

Atomen hebben een afmeting van ongeveer $10^{-10}$ m. Voor je idee: een druppel water met een massa van circa $0,05$ gram bevat ruim $10^{21}$ moleculen. Om met zulke grote aantallen te werken, gebruik je het begrip mol. Een mol stof bevat $N_A\approx 6 \cdot 10^{23}$ deeltjes (de constante van Avogadro) en heeft een massa $m$ gelijk aan de molaire massa $M$ (uitgedrukt in gram per mol): \begin{equation} m = n \cdot M,\tag{e1.1} \end{equation} waarbij $n$ het aantal mol van een stof is. (Als $n=1$ dan blijkt bovenstaande bewering: $m=1\cdot M$).

1.2 Temperatuur

→ Web-app: Beweging en snelheid van moleculen in een gas.

Vanuit de theorie over botsingen tussen de atomen, kun je de gemiddelde bewegingsnelheid $v$ via de kinetische energie $E_k$ koppelen aan de temperatuur $T$. Voor mono-atomaire gassen bij lage temperaturen geldt dan: \begin{align} E_k & =3/2 \, kT, \tag{e1.2}\\ ½ \, mv^2 & = 3/2 \, kT \end{align} waarbij $m$ de massa van het molecuul en $k \approx 1,4 \times 10^{-23}$ J/K de constante van Boltzmann.

Lijntekening van de warmtestroom en de snelheidsverdeling van twee containers met gas
Figuur e1.1 (a) Temperatuur van een gas is gekoppeld aan de bewegingssnelheid van atomen via de kinetische energie: $E_k=3/2 \,kT$. Omdat in de linker container de temperatuur hoger is, stroomt warmte van een hoge naar een lage temperatuur; in dit geval van links naar rechts. (b) Snelheidsverdeling van de atomen in beide containers. Bij een hogere temperatuur ligt de gemiddelde snelheid (top van de berg) verder naar rechts bij een hogere snelheid: $v_{\,2, \text{gem}} > v_{\,1, \text{gem}}$.

Vergelijking e1.2 laat zien dat de gemiddelde snelheid van atomen groter wordt bij een toenemende temperatuur. Deze vergelijking maakt ook duidelijk dat bij een temperatuur van ($T=0$ Kelvin) de atomen geen kinetische energie hebben en dus stil staan. Deze laagste temperatuur is $0$ K $=-273,15 ^0$C en noem je het absolute nulpunt. Omrekenen tussen de Celsius- en de Kelvin-schaal doe je met: \begin{equation} T (^0C) \approx 273,15 + T(K).\tag{e1.3} \end{equation} De Groninger Heike Kamerlingh Onnes maakte in 1908 in Leiden vloeibaar helium bij $1,5$ K destijds het ‘ de koudste plek op aarde’ zie figuur e1.2.

foto van Heike Kamerlingh Onnes en Johannes Diderik van der Waals voor de liquefactor.
Figuur e1.2 Heike Kamerlingh Onnes (links) en Johannes Diderik van der Waals (rechts) in het koude-lab in Leiden, 1908. Tussen Onnes en Van der Waals, op een hoogte van Onnes’ borst zie je de buis waarin hij voor het eerst vloeibare Helium maakte. De opstelling is nog steeds te zien in het Boerhaave museum of in de hal van het Huygens lab, beide in Leiden. (Bron: wikimedia.)

1.3 Warmte

Een temperatuurverschil tussen voorwerpen zorgt voor energietransport van het voorwerp met de hoge temperatuur naar het voorwerp met de lage temperatuur. De energie die hier wordt getransporteerd, noem je warmte.

De soortelijke warmte $c$ van een stof is de hoeveelheid warmte die je moet toevoegen aan één kilogram om deze één graad in temperatuur te veranderen: \begin{equation} c = \frac{Q}{m\Delta T},\tag{e1.4} \end{equation} met $Q$ de hoeveelheid warmte, $m$ de massa van de stof en $\Delta T$ de temperatuurverandering. binas geeft een overzicht van soortelijke warmtes. Voor je idee: Water heeft een soortelijke warmte van $c \approx 4,2\cdot 10^3$ J/kg K. Met diezelfde hoeveelheid energie kun je $100$ kilogram water tillen naar een hoogte van $4,2$ meter.

Het transport van warmte kan slechts op drie manieren plaatsvinden. Ten eerste door middel van geleiding door een vaste stof. Daarbij blijven de atomen op een vaste plek en geven ze de energie door. Ten tweede door stroming waarbij je de atomen verplaatst die meer energie hebben. En ten derde door straling zoals bij de zwarte straler. De eerste twee vormen van transport hebben een medium nodig maar de laatste niet. Sterren bijvoorbeeld verliezen energie uitsluitend door straling omdat de omgeving van een ster vacuüm is.

Newton dacht na over het warmtetransport als gevolg van een temperatuurverschil. Die warmtestroom $P$ was volgens Newton: (a) Evenredig met het temperatuurverschil $\Delta T$, (b) evenredig met het contactoppervlak $A$, (c) afhankelijk van het soort materiaal dat geleidt $\lambda$, en (d) omgekeerd evenredig met de lengte van het pad waarover de warmte stroomt $d$. Newton kwam daarmee op: \begin{equation} P = \frac{Q}{t}= \lambda \frac{A}{d} \Delta T = k A \Delta T, \tag{e1.5} \end{equation} waarbij $k~(=\lambda / d)$ een factor is die afhangt van de eigenschappen en de vorm van de geleidende stof (met $\lambda$ de warmte-geleidingscoëfficiënt van het soort stof, zie binas).

Overigens zegt de warmtestroom niets over het tempo waarin opwarming of afkoeling plaatsvindt. Een voorwerp dat niet wordt verwarmd, zal afkoelen in een tempo ($dT/dt$) dat evenredig is met het temperatuurverschil $\Delta T$ tussen het voorwerp en de omgeving volgens: \begin{equation} \frac{dT}{dt} \propto - \,\Delta T= - \, (T-T_{\text{omgeving}}),\tag{e1.6} \end{equation} wat een voorbeeld is van een exponentieel verband.

1.4 Druk

Atomen in een gas die stuiteren tegen een oppervlak, veroorzaken daardoor een kracht op dat oppervlak. De voortdurende en gecombineerde botsingen van alle atomen bij elkaar veroorzaakt een druk $p$ op het oppervlak $A$ van de wand: \begin{equation} p=\frac{F}{A},\tag{e1.7} \end{equation} met $F$ de kracht die de atomen uitoefenen. Als de temperatuur van een gas stijgt, neemt de gemiddelde snelheid van de atomen toe. Door de hogere snelheid botsen de atomen harder tegen de wanden van het vat: de druk op de wanden neemt toe. In het dagelijks leven gebruik je vaak de eenheid Bar voor druk: $1$ Bar $= 10^5$ Pa. (Bij mooi weer is luchtdruk bijvoorbeeld 1010 mBar.)

2 Fase

→ Web-app: toestanden en fase-overgangen.

De meeste zuivere stoffen kom je tegen in drie verschillende fasen: vast, vloeibaar en gas. De smelt- of kooktemperatuur bepaalt bij welke temperatuur een fase-overgang plaatsvindt.

Een gas is misschien wel het beste voorbeeld van een grote verzameling van puntmassa’s die willekeurig door elkaar heen bewegen. Van een ideaal gas is sprake als de atomen: (a) geen eigen volume hebben (letterlijk puntmassa’s zijn), en (b) geen onderlinge aantrekkende krachten op elkaar uitoefenen. Een ideaal gas gedraagt zich volgens Newtons wetten. De lichte edelgassen (helium of neon) maar ook $CO_2$, gedragen zich bij lage temperatuur en lage druk als een ideaal gas.

2.1 Gas

→ Web-app: eigenschappen van gassen en mengen van gassen (diffusie).

De toestand van een ideaal gas kun je altijd beschrijven met de combinatie van grootheden $(p,V,T,n)$. Tussen die grootheden gelden een aantal verbanden (zie figuur e1.3 en e1.4): \begin{align} p & \propto 1/V \qquad n=c \wedge T=c \tag{e1.8a}\\ p & \propto T \qquad n=c \wedge V=c \tag{e1.8b}\\ V & \propto T \qquad n=c \wedge p=c \tag{e1.8c}\\ V & \propto n \qquad p=c \wedge T=c,\tag{e1.8d} \end{align} met $c$ telkens een constante, en $V$ het volume van het gas (of de inhoud van een vat). e1.8a is de wet van Boyle; e1.8b de wet van Gay-Lussac, e1.8c de wet van Charles en e18.d de wet van Avogadro.

model van een ideaalgas.
Figuur e1.3 Isotherm (= temperatuur is constant) gedrag van een ideaal gas bij een constante temperatuur. De blauwe lijn is 410K ; de grijze 310K. Model van Tom Kooij’s webapp modelleertaal.

Al deze verbanden kun je samenvoegen tot de algemene gaswet: \begin{equation} pV=nRT\tag{e1.9} \end{equation} met $R = N_A \, k_b \approx 8$ J mol$^{-1}$ K$^{-1}$ de gasconstante.

lijntekening van de drie verbanden van een ideaalgas.
Figuur e1.4 Gedrag van een ideaal gas. Bij een constante hoeveelheid stof kun je uit de algemene gaswet afleiden: (a) De wet van Boyle $p \propto 1/V$ bij constante temperatuur ($T_{2}>T_{1}$) de lijn noem je een isotherm, (b) de wet van Gay-Lussac $ p \propto T$ bij constant volume ($V_{2}>V_{1}$), en (c) de wet van Charles $V \propto T$ bij constante druk (en een temperatuurschaal in Kelvin) ($p_{2}>p_{1}$).

Bij een niet-ideaal gas hebben de atomen een eigen volume, noem dat $b$. Daardoor is het beschikbare vrije volume voor het gas in de container kleiner: $(V-b)$. Als de atomen elkaar bovendien ook nog aantrekken dan zal de gemeten druk daardoor kleiner zijn: $(p+p_a)$. De Leidenaar Johannes Diderik van der Waals (zie figuur e1.2) paste daarom in 1873 de ideale gaswet aan: \begin{equation} (p+a/V_m^2)(V_m-b)= nRT,\tag{e1.10} \end{equation} waarbij $V_m$ de volume is van 1 mol gas. (Het was Van der Waals’ aanpassingen die maakte dat Kamerlingh Onnes op zoek ging naar lage temperaturen.)

2.2 Vloeistof

→ Web-app: Druk in een vloeistof.

Een vloeistof is op atomair niveau nauwelijks van een gas te onderscheiden: Ook in een vloeistof bewegen de atomen dwars door elkaar heen. Het verschil met een gas zou kunnen zijn dat de onderlinge atomaire afstand bij een vloeistof kleiner is dan in een gas.

Dieper onder het oppervlak van een vloeistof veroorzaakt de hoogte $h$ van de vloeistof een extra druk $\Delta p$ ten opzichte van omgevingsdruk $p_0$: \begin{align} p(h) & = p_0 + \Delta p =p_0 + \frac{F_z}{A}=\\ & = p_0+ \frac{mg}{A}= p_0+\frac{\rho A h \times g}{A} \rightarrow\\ p(h) & =p_0+\rho g h, \tag{e1.11} \end{align} waarbij $A$ het oppervlak, $\rho$ de dichtheid is van de vloeistof, en $g$ de gravitatieversnelling. Merk op dat het oppervlak uiteindelijk er niet toe doet.

2.3 Vast

Een vaste stof kun je voorstellen als atomen die vrijwel onbeweeglijk op een vaste plek naast elkaar zitten; bij metalen noem je dat een rooster. Vooral van metalen zijn de eigenschappen zoals warmte- en elektrische geleiding goed te verklaren aan de hand van dat rooster dat je opgebouwd kunt denken uit geïoniseerde atomen en elektronen die daar (vrij) doorheen bewegen.❰

laatste aanpassing: 26-8-2019.