3e8.nl

C3 Gravitatie

Leestijd: circa 6 minuut.

❱In de hoofdstukken van domein C geldt het klassieke idee dat je voorwerpen kunt beschouwen als een puntmassa.

1 Newtons gravitatie

→ Web-apps: (a) schiet projectielen af; en onderzoek de grootte van de gravitatiekracht. Vergelijk eventueel met de veel sterkere elektrische kracht.

Bij een vrije val op het aardoppervlak versnellen alle voorwerpen, ongeacht hun massa, met dezelfde versnelling $a$: $$ a=g = 9,81 \text{m/s}^2. \tag{c3.1}$$ Je kunt dat alleen maar uitleggen als je aanneemt dat de aarde met meer kracht trekt aan grote massa’s. Nadat Aristoteles in zeg 400 v. Chr. al had nagedacht over hoe hij een val kon verklaren (en tot een onjuiste conclusie kwam), realiseerde Isaac Newton zich hij de val en de beweging van planeten rond de zon op eenzelfde manier kon verklaren. Hij formuleerde daartoe de gravitatie-wet (overigens op grond van eerdere gegevens en ontdekking van onder andere Kepler):

‘Hemelse lichamen bewegen in banen waarbij de (onderlinge) kracht omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand en evenredig is met het product van de twee massa’s. De richting van de kracht is langs de verbindingslijn tussen de twee lichamen.’

In formulevorm staat hier: \begin{equation} F_{z}\propto \frac{m_1 \,m_2}{r^2}= G \frac{m_1 \,m_2}{r^2} \tag{c3.2} \end{equation} waarbij $G \approx 6.7\cdot 10^{-11}\, \text{m}^{3} \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$ de universele gravitatieconstante, $m_1$ en $m_2$ de massa’s die krachten op elkaar uitoefenen en $r$ de onderlinge afstand.

Voorbeeldopgave: Newtons gravitatie

Met de gegevens die Tycho Brahe verzamelde in circa 1570, kwam Johannes Kepler later tot de conclusie dat de planeten rond de zon een vaste verhouding hebben van de omlooptijd $T$ en de straal $r$ van de baan om de zon: \begin{equation} \frac{r^3}{T^2}=\text{constante}. \end{equation} Toon aan hoe je met Newton de tweede wet, hieruit de algemene gravitatiewet zou kunnen afleiden.

Gevraagd:

Toon aan $F=GmM/r^2$ vanuit $F=ma$ en $r^3/T^2=$ constante.

Aanpak:

  1. Het gaat om een cirkelbeweging en dus moet er volgens Newton een resultante kracht zijn: $F_{res}=m_{\text{planeet}}a$ met $a = v^2/r$; voor de cirkelbeweging geldt verder: $v=2\pi r/T$;
  2. De laatste twee invullen, levert: $a = 4\pi^2 r^2/T^2 r=4\pi^2 r/T^2$;
  3. Newtons tweede wet geeft dan: $$F_{res}=m_{\text{planeet}}a= \frac{4\pi^2 m_{\text{planeet}}r}{T^2};$$
  4. Dit kun je verder omschrijven tot: $$F_{res}=\frac{4\pi^2 m_{\text{planeet}}r^3}{T^2r^2}=4\pi^2 \frac{r^3}{T^2}\frac{m_{\text{planeet}}}{r^2}=C_2 \cdot \frac{m_{\text{planeet}}}{r^2}.$$
  5. Newton theoriseerde dat de constante $C$ de massa van de zon bevatte:$$F_{res} \propto M_{\text{zon}}\cdot \frac{m_{\text{planeet}}}{r^2}.$$

1.1 Valversnelling

Dat de valversnelling voor ieder voorwerp hetzelfde is, kun je zien aan de hand van Newtons tweede wet en te realiseren dat alleen $F_z$ de resultante kracht levert: \begin{equation} F_{\text{res}}=ma \rightarrow G\frac{mM}{r^{2}}=ma \rightarrow G\frac{M}{r^{2}}=a,\tag{c3.3} \end{equation} daarbij is $M=M_A$ de massa van de aarde en $r=R_A$ de straal van de aarde. Het rechterdeel laat zien dat de valversnelling $a$ bepaald wordt door constanten: de gravitatieconstante en de massa en de straal van de aarde. Als je dat uitrekent, kom je uit op ongeveer $a\approx 9,81$ m/s$^2$

Zolang je een voorwerp op het aardoppervlak slechts over een geringe hoogte verplaatst (zeg minder van een paar honderd meter) geldt dat de valversnelling homogeen is; dat wil zeggen constant qua grootte en qua richting. Je mag dan formule c3.2 ook schrijven als: \begin{equation} F_{z}=mg ~~ \text{met} ~~ g = G\frac{M_A}{R_A^2}. \tag{c3.4} \end{equation}

1.2 Gravitatieveld

De formulering van vergelijking c3.4 splitst de gravitatie-aantrekking in twee delen. Enerzijds in de factor $m$ van het voorwerp dat de aantrekkende kracht ondergaat en anderzijds in de factor $g$ die het effect aangeeft van de aantrekkende massa: \begin{align} F_{z}& = m\times g(r),\\ &=\text{eigenschap van m} \times \text{effect van M}, \tag{c3.4a} \end{align} waarin je met $g(r)=G M/r^2$ de grootte van het effect berekent.

In de natuurkunde kun je dan zeggen dat $M$ een gravitatieveld heeft toegevoegd aan z’n directe omgeving; de ruimte om de massa is dus veranderd. De richting van het gravitatieveld is altijd naar het middelpunt van de massa en de grootte van het veld in ieder punt reken je uit met $g(r)$.

1.3 Gravitatie-energie

Tot slot kun je gravitatie ook nog bekijken vanuit het idee van een potentiaalput, zie figuur c3.1. Voor kleine hoogte $h$, als het veld homogeen is, geldt de vergelijking c2.15: $E_z=mgh$, maar voor grotere afstanden geldt voor de gravitatie-energie* $E_g$: \begin{equation*} E_g =E_z=-G\frac{m \,M}{r}. \tag{c3.5} \end{equation*}

Schematische afbeelding van het verloop van gravitatie energieput.
Figuur c3.1 Potentiaalputten bij gravitatie. (a) Over een kleine afstand is het gravitatieveld homogeen en dan geldt $E_{z}=mgh$. (b) Over grotere afstanden is het gravitatieveld niet meer homogeen en geldt: $E = - G mM/r$.

De bodem van de put zou oneindig diep kunnen zijn maar stopt in feite bij het oppervlak van het voorwerp (planeet, ster, zwart gat).

Bij een gravitatieput is het gebruikelijk om de bovenkant van de put als nul-niveau te kiezen. Een gevolg is dat de massa $m$ dan in de put een negatieve gravitatie-energie heeft. Dit is logisch als je bedenkt dat je energie aan een massa moet toevoeren (optellen) om het van de aarde weg te krijgen (gooien, schieten ...). In deze zin is gravitatie-energie een vorm van bindingsenergie: Dat is een gebrek aan energie om vrij te zijn. Een satelliet die om een planeet draait, zit op een diepte in de put. Hij kan daar niet weg tenzij bijvoorbeeld een raketmotor arbeid levert om de satelliet uit de put te duwen.

* Door differentiëren van vergelijking c3.5 krijg je de gravitatiewet van formule c3.2.

2 Eenparige cirkelbeweging

→ Web-app cirkelbeweging.

Bij een zogeheten eenparige cirkelbeweging draait een voorwerp met een constante baansnelheid om een middelpunt. De snelheid $v$ van het roterende voorwerp reken je uit met: \begin{equation} v=\frac{s}{t}=\frac{2\pi r}{T}= 2\pi r f, \tag{c3.6} \end{equation} daarbij is $s$ de omtrek van de baan, $r$ de straal van de cirkel, $T$ de omlooptijd van één rotatie en $f=1/T$ de frequentie of het aantal rotaties per seconde.

Bij de cirkelbeweging is de snelheidsvector van het voorwerp altijd gericht langs de baan (loodrecht op de straal) vandaar dat je deze snelheid ook aanduidt als de baansnelheid. Hoewel deze niet verandert van grootte maar wel van richting, is volgens Newtons tweede wet een versnelling nodig. Voor een roterend voorwerp reken je de versnelling $a$ uit als: \begin{equation} a = \frac{v^2} {r}. \tag{c3.7} \end{equation} Deze versnelling zorgt voor de verandering van de richting van de baansnelheid en is daarom gericht naar het middelpunt van de beweging of in de richting van de straal.

2.1 Middelpuntzoekende kracht

Versnelling is volgens Newtons tweede wet het gevolg van een resultante kracht $F_{\text{res}}$. Met de bovenstaande vergelijking c3.7 schrijf je daarom voor een eenparige cirkelbeweging: \begin{equation} F_{\text{res}}=ma \leftrightarrow F_{\text{res}}=F_{\text{mpz}}=m\frac{v^2}{r}. \tag{c3.8} \end{equation} Deze vergelijking formuleert in feite twee zaken over een cirkelbeweging: (a) een rotatie is het gevolg van een resultante kracht, en (b) die kracht is gericht in dezelfde richting als de versnelling dat wil zeggen naar het middelpunt. Deze kracht noem je daarom de middelpuntzoekende kracht $F_{\text{mpz}}$.

Anders bezien kun je ook zeggen dat een middelpuntzoekende kracht nodig is om een rechtdoorgaande beweging af te buigen. Bijvoorbeeld het naar buiten slingeren in een draaimolen heeft te maken met een gebrek aan middelpuntzoekende kracht. (En vanuit de draaimolen bezien lijkt het alsof er een middelpuntvliedende kracht heerst.)

Let op dat de middelpuntzoekende kracht niet een nieuwe kracht is die thuishoort in het rijtje van krachtsoorten. De middelpuntzoekende kracht is slechts de naam van de resultante kracht die een rotatie levert, waarbij vergelijking c3.8 het verband weergeeft tussen de grootte van de middelpuntzoekende kracht en de versnelling. Bij een draaiend fietswiel zorgen de spaken voor de middelpuntzoekende kracht, bij beweging van de maan rond de aarde zorgt de gravitatiekracht voor middelzoekende kracht, bij de kogelslingeraar zorgt de ketting (en eigenlijk de man) voor de middelpuntzoekende kracht, bij de looping run zorgt de kromme baan voor de kracht, enzovoort.

3 Hemellichamen

→ Web-apps: (a) zon, aarde en maan, (b) het zonnestelsel, (c) die meteorieten door de mens zijn gemaakt, en (d) die aanwezig zijn in ons zonnestelsel. Web-apps zonnestelsel: zonnestelsel (NB veel Mb's). Of onderzoek de grootte (en leegte) van het zonnestelsel. Oké, nog een laatste dan.

Onder hemellichamen verstaan we alles wat zich buiten de atmosfeer van onze aarde bevindt: naast de maan, de planeten en sterren, een enorme hoeveelheid door de mens gemaakte satellieten en ook nog een veel grotere hoeveelheid meteorieten.

3.1 Lanceren

→ Web-app: Met Newtons kanon kun je een satelliet lanceren en de ontsnappingsnelheid onderzoeken. Volg de Rosetta-satelliet in een 3D animatie.

Als je een satelliet lanceert vanaf het aardoppervlak, zul je het een hoeveelheid kinetische energie moeten geven om het ‘op te tillen’ in de gravitatie (potentiaal)put. Denk aan een bal die je omhoog gooit: Je wilt in feite zo hard gooien dat de bal nooit meer omdraait en terugvalt maar pas tot stilstand komt als de bal oneindig ver weg is. Anders geformuleerd: $v(r=\infty)=0$. De gooisnelheid waarbij dat gebeurt, noem je de ontsnappingsnelheid.

Voorbeeldopgave: Ontsnappingsnelheid

Welke snelheid moet je een raket geven om uit het zonnestelsel te komen?

Gevraagd:

$v_{\text{lanceer}}=?$ zodanig dat $v_{r={\infty}}=0$.

Aanpak:

Voor een raket met massa $m$ geldt volgens behoud van energie: \begin{align} E_{\text{lanceer}} & = E_{\text{eind}},\\ E \, (r=R_A) & = E \, (r=\infty),\\ E_k + E_z & = 0 + 0,\\ ½~ mv^2 + - \frac{GmM}{R_A} & = 0, \end{align} waarbij je gebruik maakt dat $E_z (r=\infty)=0$.

Uitkomst:

Met BINAS kun je nu alle getallen invullen. Wil je van het aardoppervlak ontsnappen, dan is de snelheid ongeveer 11 km/s. Wil je ook nog ontsnappen aan de zon, dan moet de snelheid 46 km/s zijn en wil je tot slot nog ontsnappen aan de melkweg, dan is de snelheid 537 km/s.

Het doel van een satelliet bepaalt op welke hoogte en in welke baan deze wordt geplaatst. De geostationaire is daarbij een bijzondere baan om het de enige is waarbij een satelliet een rondje maakt in vierentwintig uur waardoor deze satelliet stil staat ten opzichte van de ondergrond. Je kunt met de vergelijking c3.6 uitrekenen dat zo’n satelliet beweegt op een hoogte van ongeveer $36 \cdot10^3$ km. Onder andere communicatie- en weersatellieten worden in deze baan geplaatst.❰

laatste aanpassing: 22-8-2019