3e8.nl

C1 Kracht en beweging

Leestijd: circa 10 minuut.

❱In de hoofdstukken van domein C geldt het klassieke idee dat je voorwerpen kunt beschouwen als een puntmassa.

1 Beweging

In grote lijnen gaat natuurkunde over het beschrijven van de plaats en de snelheid van voorwerpen. Domein C1 benadert dat vanuit het begrip kracht. Een gevolg van de deze benadering is dat we meestal kijken naar hoe plaats, snelheid, versnelling en kracht veranderen in de tijd.

1.1 Eenparige snelheid

→ Web-apps: (a) bewegende mannetje, en (b) eenparig versnelde beweging.

Indien je op de snelweg wilt weten waar je bent, kijk je naar de groene hectometerbordjes in de berm. Daar staat iets van A1 Li 78,1 wat inhoudt dat je rijdt op de A1 op een afstand van $78,1$ kilometer van Amsterdam aan de linkerkant.

In de natuurkunde doe je hetzelfde bij het beschrijven van een beweging: De plaats van een voorwerp op een lange denkbeeldige rechte lijn geef je aan met de grootheid $x$. Om een beweging te beschrijven, maak je dan gebruik van het begrip verplaatsing $\Delta x$ of $s$; wat de kortste afstand is tussen een eind- en een beginpunt: \begin{equation} s = \Delta x = x_{2} - x_{1}.\tag{c1.1} \end{equation} De index 2 duidt op het latere tijdstip is en de index 1 op het eerdere tijdstip.

Als een puntmassa een vaste afstand $\Delta x$ aflegt in een vaste hoeveelheid tijd $\Delta t$ is de verhouding tussen de beide constant: \begin{equation} v=\frac{\Delta x}{\Delta t},\tag{c1.2a} \end{equation} waarbij je $v$ de snelheid noemt. Is die beweging ook nog in een rechte lijn, dan spreek je over een eenparig rechtlijnige beweging; eenparig betekent in dezelfde tijdsduur, dezelfde toename (van de afstand), zie het model van figuur c1.1. Omdat je in de natuurkunde wilt weten hoe de beweging verloopt in de tijd, beschrijf je — op school — de plaats in de tijd door middel van een $(x,t)$-diagram en de snelheid in de tijd door middel van een $(v,t)$-diagram.

Schermafbeelding van een programma met modelregels van een eenparige rechtlijnige beweging.
Figuur c1.1 Model van een eenparig rechtlijnige beweging. Blauwe lijn: negatieve snelheid. Grijze lijn: positieve snelheid. Model van Tom Kooij’s webapp modelleertaal.

Bij een eenparige snelheid reken je de verplaatsing $s$ na een tijd $t$ uit met: \begin{equation} s = v t. \tag{c1.2b} \end{equation}

1.2 Eenparige versnelling

Door harder te trappen op de fiets, onderga je een versnelling. Als de snelheid met een vaste hoeveelheid $\Delta v$ toeneemt in telkens dezelfde hoeveelheid tijd $\Delta t$, is de verhouding tussen de beide constant: \begin{equation} a =\frac{\Delta v}{\Delta t},\tag{c1.3} \end{equation} waarbij $a$ de versnelling is. Zo’n beweging noem je een eenparig versnelde beweging. Bij een beweging waarbij $v$ en $a$ dezelfde kant op zijn gericht, spreek je over een versnelling en als beide tegengesteld zijn gericht, spreek je over vertraging.

Verplaatsing

De afstand die een versnellend voorwerp aflegt in de tijd, neemt toe met de snelheid die zelf weer toeneemt met de versnelling. Het gecombineerde effect daarvan is dat de verplaatsing $s$ kwadratisch toeneemt met de tijd. Met het model van figuur c1.2 kun je dan afleiden: \begin{align} s & = \Delta x = v_{\text{gem}} \times t \rightarrow \\ & = ½ \, \Delta v \times t=½ \, at \times t \rightarrow \\ s & = ½ \, at^2,\tag{c1.4} \end{align} let op de factor $v_{\text{gem}}$.

Schermafbeelding van een programma met modelregels van een eenparige versnelde beweging.
Figuur c1.2 Model van een eenparige versnelde beweging. Model van Tom Kooij’s webapp modelleertaal.

Deze wiskundige formulering waarbij je plaats als functie van de tijd berekent, noem je een bewegingsvergelijking van plaats. In een $(x,t)$-diagram levert deze vergelijking een parabool op, zie het model van figuur c1.2.

(N.B. Bij een versnelde beweging kun je vergelijking $\Delta x=v\times t$ niet gebruiken omdat de snelheid niet constant is.)

1.3 Val

Voorwerpen die vallen op aarde, ondergaan allemaal dezelfde versnelling waarbij de snelheid iedere seconde met iets minder dan $10$ m/s toeneemt — ongeacht de massa van het voorwerp*. Deze zogeheten valversnelling geef je aan met het symbool $g$. Op het oppervlak van de aarde is $g \approx 9,8 \,\text{m/s}^2$ en op het oppervlak van de maan is $g \approx 1,6 \,\text{m/s}^2$, zie het model in figuur c1.3. Op school reken je voor het gemak vaak met de vereenvoudiging dat voorwerpen tijdens het vallen geen luchtwrijving ondervinden: de zogeheten vrije val.

Schermafbeelding van een programma met modelregels van een vrije val.
Figuur c1.3 Model van een vrije val. Blauwe lijn: vrije val op de maan. Grijze lijn: vrije val op de aarde. Model van Tom Kooij’s webapp modelleertaal.

* Dat weten we pas 450 jaar. Daarvoor heerste ruim twee eeuwen Aristoteles’ idee dat valversnelling evenredig was met de massa $m$: $g\propto m$. De meeste mensen die je op straat vraagt over hoe dingen vallen, zullen Aristoteles’ idee geven: Grote massa’s vallen sneller.

Figuur c1.4 Schiet projectielen af.

1.4 Diagrammen

→ Web-app om helling van een raaklijn te oefenen. Zie ook de eerdere apps: bewegende mannetje en eenparig versnelde beweging.

Veel opgaven die je op school tegenkomt over beweging kun je oplossen door gebruik te maken van een $(x,t)$- of een $(v,t)$-diagram.

Plaats-tijd

In een $(x,t)$-diagram (zie figuur c1.5-links) levert de helling op een tijdstip de momentane snelheid en levert de helling van de verbindingslijn (koorde) tussen twee punten de gemiddelde snelheid: \begin{align} \text{helling}_{\text{tijdstip}} & =dx / dt \, (=v), \tag{c1.5}\\ \text{helling}_{\text{koorde}}&=v_{\text{gem}}=\Delta x / \Delta t.\tag{c1.6} \end{align}

Snelheid-tijd

Een $(v,t)$-diagram (zie figuur c1.5-rechts) geeft de versnelling op een tijdstip als de helling of steilheid van de raaklijn, en geeft de afgelegde weg als het oppervlak onder de lijn : \begin{align} \text{helling} & =dv / dt \, (=a), \tag{c1.7}\\ \text{oppervlak} & = v_{\text{gem}}\times \Delta t = \Delta x.\tag{c1.8} \end{align}

Lijntekening van een (y,t)-grafiek Lijntekening van een (v,t)-grafiek
Figuur c1.5 Model van een vrije val vanaf 10m. Links: Helling in een (y,t)-diagram levert de snelheid. Rechts: Oppervlak in een (v,t)-dagram levert een afstand. Beide modellen: Coach.

2 Newtons wetten

Als een kracht op een voorwerp werkt, veroorzaakt dat een vervorming van het lichaam of een verandering van de snelheid. Isaac Newton schreef in 1687 Principia waarin hij uitlegde wat de regels van de natuur zijn, zeg de natuurwetten waaraan beweging en krachten zich blijken te houden.

2.1 Impuls

Beweging kun je karakteriseren met het begrip impuls $p$ wat een is uitrekent als het product van massa $m$ en snelheid $v$: \begin{equation} p=mv.\tag{c1.9} \end{equation} Impuls kun je zien als een maat voor de hoeveelheid beweging van een lichaam. Impuls een enorm veel gebruikte grootheid in de natuurkunde die je onder andere weer tegenkomt in het domein f1 quantumwereld bij de debroglie-golflengte.

Tot slot: met de combinatie plaats en impuls $(x,p)$ kun je heel goed de toestand van een voorwerp beschrijven.

2.2 Traagheid

In de eerste wet formuleerde Newton: Als een voorwerp stil ligt of beweegt met een constante snelheid in een rechte lijn, is de resultante kracht $F_{\text{res}}$ op een voorwerp nul. Wiskundig geformuleerd als: \begin{equation} ( v=c \text{ of } v=0 ) \leftrightarrow F_{\text{res}} = 0.\tag{c1.10} \end{equation}

Deze vergelijking kun je ook zien als een formulering van het begrip traagheid: Massa behoudt z’n beweging of anders gezegd massa verzet zich tegen verandering van beweging. Voor zover je daarvan kunt spreken, heeft een massa heeft kennelijk de neiging z’n ‘toestand van beweging’ te handhaven: Als het een snelheid heeft, blijft het graag met die snelheid bewegen en als het stil ligt, blijft het graag stil liggen.

2.3 Kracht is de oorzaak van versnelling

→ Web-app: tweede wet van Newton. Of zet de maanlander veilig op de grond.

Newtons tweede wet legt uit dat verandering van snelheid (ofwel versnelling) — in grootte of richting — het gevolg is van een resultante kracht $F_{\text{res}}$. Daarbij is de versnelling $a$ rechtevenredig met de resultante kracht en omgekeerd evenredig met de massa $m$ zie figuur c1.6a: \begin{equation} (v \neq c) \rightarrow a = \frac{F_{\text{res}}}{m} \leftrightarrow F_{\text{res}} = ma.\tag{c1.11} \end{equation}

Lijntekening met uitleg van tweede van Newton.
Figuur c1.6 (a) Kracht zorgt voor een versnelling: Hoe groter de massa, hoe kleiner de versnelling. (b) De aarde trekt net zo hard aan de zon als de zon trekt aan de aarde.

Let op dat Newton hier sprak over de resultante kracht; dat kan één kracht zijn maar ook een som van meerdere krachten wat je weergeeft met het $\Sigma$-symbool: $ F_{\text{res}}=\Sigma F$. (Overigens kom je ook het begrip netto kracht tegen, het is allemaal hetzelfde: $F_{\text{netto}}=F_{\text{res}}=\Sigma F$.)

Figuur c1.7 Onderzoek het effect van kracht.

Bijvoorbeeld de middelpuntzoekende kracht bij een cirkelbeweging is de benaming van de resultante kracht die zorgt voor rotatie. Je komt deze kracht tegen bij onder andere de beweging van de planeten waarbij de gravitatiekracht zorgt voor de cirkelvormige banen om de zon. De gravitatiekracht is dan de resultante kracht in Newtons tweede wet. Je mag ook zeggen: de gravitatiekracht levert de middelpuntzoekende kracht.

Hoewel we de bovenstaande formulering op school gebruiken, formuleerde Newton oorspronkelijk deze wet met het begrip impuls: Kracht zorgt voor een verandering van impuls. En dat is ook wat je eigenlijk ziet: Als je tegen een bal schopt, wat heb je dan veranderd? De beweging van je voet is in een hele kort contacttijd (kracht) overgedragen aan de verandering van de hoeveelheid beweging of de impuls van de bal.

2.4 Fab = - Fba

De derde wet van Newton legt uit dat krachten altijd in paren optreden op twee verschillende lichamen: Als lichaam A een kracht uitoefent op B, dan oefent lichaam B dezelfde kracht uit op A. De twee krachten treden tegelijk op als een wederzijdse wisselwerking, zie figuur c1.6b of de app uit figuur c1.7. Newton formuleerde dit als: \begin{equation} F_{A,B}=-F_{B,A}.\tag{c1.12} \end{equation} Let op twee dingen: (a) het min-teken wat inhoudt dat de krachten tegengesteld zijn gericht, en (b) op de omkering van de indices omdat de krachten op twee verschillende lichamen werken.

Newtons derde wet kom je ook tegen als actie = — reactie maar dat lijkt een wat verwarrende bewoording. Actie en reactie suggereert dat één van de krachten als eerste aanwezig was en de andere kracht daarop volgt, maar dat is nooit het geval. Krachten treden altijd tegelijk in duo’s op, vandaar dat natuurkundigen in plaats van over krachten soms liever over een wisselwerking praten.

2.5 Ruimtetijd en vectoren

Hoewel de bovenstaande drie wetten de bekendste zijn, kwam Newton met nog een paar zaken die belangrijk zijn gebleken in de natuurkunde.

Onder andere merkte Newton impliciet op wat ruimte en tijd is: (a) tijd en ruimte zijn absoluut (dat wil zeggen voor iedereen hetzelfde ongeacht plaats of beweging), en (b) informatie blijft behouden. Later in 1904 liet Einstein in zijn relativiteitstheorie zien dat Newtons idee over tijd en ruimte alleen geldt bij lage snelheden.

Newton formuleerde ook dat krachten zich laten combineren als vectoren. Daarnaast bestudeerde hij de beweging van planeten en veronderstelde hij dat massa’s een wisselwerking op elkaar oefenen. Newton formuleerde daarvoor de gravitatiekracht tussen massa’s.

Tot slot: Determinisme

De fransman Pierre-Simon Laplace concludeerde in 1820 — onder andere naar aanleiding van Newtons wetten — dat de wereld berekenbaar of deterministisch was:

‘Een intelligentie die alle instanties in de natuur op een gegeven moment kent, evenals de momentane posities van alle dingen in het universum, zou in één enkele formule de bewegingen van de grootste lichamen en de lichtste atomen in de Wereld kunnen begrijpen, op voorwaarde dat zijn intellect voldoende sterk was om alle gegevens te analyseren. Daarbij zou niets onzeker zijn en zouden toekomst en verleden voor zijn ogen aanwezig zijn.’

Het deterministische wereldbeeld leidde ook tot het (klassieke) idee dat resultaten van metingen voorspelbaar zijn naar de toekomst maar ook naar het verleden. Dat wil zoveel zeggen dat als je een meting doet (de toestand van grootheden kent), je zowel kunt rekenen wat de toestand is in de toekomst, als dat je kunt rekenen wat de toestand was voor de meting (in het verleden). Tegenwoordig zeggen natuurkundigen over dat idee: Informatie blijft behouden.

3 Krachtsoorten

De meeste krachten die je in het dagelijkse leven tegenkomt, zijn zogeheten contactkrachten. Dat wil zeggen dat de krachten aangrijpen op het contactvlak tussen twee voorwerpen. Wrijvingskracht is misschien wel de meest voor de hand liggende.

Hier volgt een globale opsomming van (contact)krachten zoals je die op school tegenkomt.

Gewicht

Gewicht $G$ is de kracht van een massa op een ondergrond. Let op het verschil tussen gewicht, zwaartekracht en massa: Als je van een duikplank springt, val je naar beneden omdat de zwaartekracht aan je trekt maar omdat je niet op een ondergrond steunt, oefen je geen gewicht uit. Je bent dan gewichtloos. Natuurlijk heb je nog steeds massa (massaloos bestaat niet).

Normaalkracht

Normaalkracht $F_n$ is een ondersteunende kracht loodrecht op een oppervlak; dat kan een grondvlak zijn of een ander steunvlak zoals een muur. Zoals hierboven al gezegd: Je spreekt van gewichtloosheid als je geen normaalkracht ondervindt. Normaalkracht en gewicht vormen een actie-reactie paar.

Spankracht

Spankracht $F_s$ werkt in een koord. Je kunt je spankracht voorstellen als dat je een knip in een koord maakt en jij zelf nu beide uiteinden vastpakt om de kracht door te geven. Spankracht is altijd een trekkracht.

Veerkracht

Veerkracht $F_v$ heeft te maken met elastische vervorming van een voorwerp: Na het verwijderen van de kracht gaat het voorwerp terug naar z’n oorspronkelijke vorm. Robert Hooke ontdekte rond 1670 dat de uitrekking $u$ van een veer evenredig was met de kracht, de zogeheten wet van Hooke, zie figuur c1.11a, of onderzoek het zelf in figuur 1.8: \begin{equation} F_v \propto u \rightarrow F_{v}= -Cu,\tag{c1.13} \end{equation} waarbij $C$ de veerconstante is, een eigenschap van een veer. Het minteken duidt op de verschillende richtingen van $F$ en $u$: Als de de uitwijking positief is, trekt de veer in de negatieve richting en andersom.

Figuur 1.8 Onderzoek de wet van Hooke.
Figuur 1.9 Onderzoek het gedrag van veren.

Wrijvingskracht

Wrijvingskracht $F_w$ is het gevolg van contact op moleculair niveau, je komt het in verschillende vormen tegen. Let op dat wrijvingskracht altijd tegengesteld is gericht aan de richting van de beweging.

Figuur c1.10 Onderzoek de schuifwrijving tussen twee contactoppervlakken.

lijntekening van verloop veerkracht en wrijvingskracht
Figuur c1.11 (a) Recht-evenredig verband tussen $F$ en $u$ bij een veer. (b) Kwadratisch verband tussen $F$ en $v$ bij luchtwrijving.

Zwaartekracht

Zwaartekracht $F_z$ is hier het eerste voorbeeld van een kracht die over een afstand werkt. Dat wil zeggen zwaartekracht is geen contactkracht. Op een massa $m$ werkt de kracht: \begin{equation} F_z=mg,\tag{c1.16} \end{equation} waarbij $g$ de eerder benoemde valversnelling is. Deze vergelijking is eigenlijk een goed kloppende vereenvoudiging van de fundamentele gravitatiekracht zolang de massa op - of vlakbij het oppervlak van een planeet is.

Lorentzkracht

Lorentzkracht $F_L$ werkt op bewegende geladen deeltjes in een magnetisch veld en is ook een voorbeeld van een kracht op afstand. De kracht vindt z’n oorzaak in bewegende lading $q$ in een magnetisch veld $B$. De kracht staat loodrecht op zowel de beweging van een lading als de richting van het magnetisch veld: \begin{equation} F_L=Bqv,\tag{c1.17} \end{equation} waarbij $v$ de snelheid van de bewegende lading is.

Fundamentele interacties

Naast de bovengenoemde vooral contactkrachten, kent de natuurkunde nog vier krachten die natuurkundigen plechtig benoemen als de fundamentele interacties. Op school behandelen we daarvan alleen de zwaarte- of gravitatiekracht $F_g$ en de Coulomb- of elektrische kracht $F_e$.

Wellicht (of hopelijk?) zijn de vier terug te voeren tot twee in een gut (Grand Unified Theory) die beschrijft hoe de krachten uiteenvallen in vier verschillende krachten vrijwel direct na de oerknal.

Alle eerder genoemde contactkrachten kun je in feite terugvoeren tot deze vier fundamentele krachten: Bijvoorbeeld dat elektronen en protonen bij elkaar blijven, dat atomen moleculen vormen en dat moleculen weer voorwerpen vormen zoals een stoel waarop je kunt zitten, het is allemaal de oorzaak van de elektrische kracht (elektrische wisselwerking).

Tot slot veroorzaken deze vier krachten een verandering van de ruimte waarin deze krachten werken wat je aangeeft als dat de ruimte gevuld wordt met een denkbeeldig veld. Zwaartekracht is wellicht het meest aansprekende voorbeeld: De omgeving van een massa is aangevuld met het zwaartekrachtsveld waar andere massa’s op reageren, hoe groot de afstand ook is.❰

laatste aanpassing: 11-10-2019.