3e8.nl

B1 Informatieoverdracht

Leestijd: circa 8,5 minuut.

1 Trilling

❱Een trilling is een herhalende beweging. Je kunt dit op drie manieren analyseren; die overigens alle drie tot dezelfde beschrijven leiden.

energieput harmonische trilling
Figuur b1.1 Bij een slinger: (a) Beweegt een massa heen en weer tussen twee uiterste standen waarbij de maximale uitwijking is: $u=\pm A$; en (b) vanuit kracht gezien geldt de relatie $F=-Cu$. (c) Dit is vergelijkbaar met de uitwisseling van kinetische- en veerenergie in een potentiaalput.

Een trilling is een herhalende beweging rondom een nulpunt

De verplaatsing van het trillende voorwerp kun je beschrijven met een bewegingsvergelijking waarbij de uitwijking (maar evengoed de snelheid en de versnelling) periodiek in de tijd $t$ verandert rondom een evenwichtstand (zie figuur b1.1a): \begin{equation} u(t) =A \sin \left ( \frac{2\pi t}{T} \right ) = A \sin \left ( 2\pi \, \phi \right ),\tag{b1.4} \end{equation} daarbij is $A$ de amplitude, $T$ de periode, en $\phi$ de fase van de trilling: \begin{equation} \phi = \frac{t}{T}=tf,\tag{b1.5} \end{equation} met $f=1/T$ de frequentie. De fase van een trilling is in feite hoeveelste deel van een volledige trilling het voorwerp heeft afgelegd. Het is gebruikelijk om de fase te houden in het gebied: $0 \leq \phi_r < 1$; je spreekt dan over de gereduceerde fase.

Door middel van differentiëren naar de tijd kun je de vergelijkingen voor de snelheid en de versnelling uitrekenen. Voor de maximale snelheid $v$ en versnelling $a$ geldt dan: \begin{align} v_{max} & = \frac{2\pi A}{T}; \tag{b1.6}\\ a_{max} & = \frac{4\pi^2 A}{T^2}. \tag{b1.7} \end{align}

Frequenties en amplitudes van herhalende bewegingen/uitwijkingen kun je met een oscilloscoop zichtbaar maken. Bijvoorbeeld in een cardiogram zie je de hartpuls in de tijd; overigens maakt je hart niet een harmonische trilling.

→ Web-app: van een oscilloscoop.

Een trilling is het gevolg van een terugdrijvende kracht

Figuur b1.2 Onderzoek een massa-veer-systeem.

Een trilling treedt op als een voorwerp een kracht $F$ (zie figuur b1.1b en model uit figuur b1.2) ondervindt die gericht is naar de evenwichtstand. Deze kracht werkt dan als een terugdrijvende kracht, dat wil zeggen deze kracht wil als het ware de uitwijking ongedaan maken. Een harmonische trilling treedt op als de kracht $F$ naar de evenwichtstand evenredig is met de uitwijking $u$: \begin{equation} F\propto -u \quad \rightarrow \quad F= -Cu, \tag{b1.1} \end{equation} met $C$ de evenredigheidsconstante. Let hier op het min-teken wat inhoudt dat de uitwijking en de kracht tegengesteld zijn gericht: het terugdrijvende effect.

Figuur b1.3 Model van een harmonische trilling met een terugdrijvende kracht. Bron: Tom Kooij’s webapp modelleertaal.

Een trilling is een energie-uitwisseling in een potentiaalput

Figuur b1.4 Energie-uitwisseling in een heen-en-weer gaande beweging.

Een trilling kun je beschouwen als een herhalende beweging in een potentiaalput waarbij de kinetische- en veerenergie voortdurend energie uitwisselen (zie figuur b1.1c en figuur b1.4): \begin{equation} \underbrace{E_v+E_k}_{\text{voor}} = \underbrace{E_v+E_k}_{\text{na}}. \tag{b1.2} \end{equation} De veer- $E_v$ en de kinetische energie $E_k$ reken je uit met vergelijkingen: \begin{equation} E_v = ½ \, Cu^2 \quad E_{k}= ½ \, m v^2,\tag{b1.3} \end{equation} met $m$ de massa en $v$ de snelheid. Let op dat de energie van een trilling evenredig is met het kwadraat van de uitwijking: $E\propto u^2$.

Figuur b1.5 Model van een harmonische trilling, vanuit energie-uitwisseling. Bron: Tom Kooij’s webapp modelleertaal.

1.2 Eigentrilling

Figuur 1.6 Beweeg de slingers.

→ Web-apps van eigentrillingen: (a) van massa's en veren, en (b) van het slinger lab. Web-apps over gedwongen meetrillen en een andere over resonantie.

Een voorwerp dat uit de evenwichtstand raakt en gaat trillen, doet dit meestal met de één hele specifieke frequentie die je de eigenfrequentie noemt. Voorbeelden daarvan kom je veel tegen: Een schommel, een brug, gebouwen door een aardbeving of een aanlegstijger waar golven tegen aan slaan.

De eigenfrequentie van respectievelijk een slinger met lengte $l$ en van een massa-veer systeem reken je uit met: \begin{align} T & = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }, \tag{b1.8}\\ T & = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{C} } \tag{b1.9}, \end{align} daarbij is $g$ de valversnelling, $m$ de massa en $C$ de veerconstante. Resonantie is het verschijnsel dat een voorwerp gaat meetrillen met een extern aangebrachte periodieke beweging. Als de frequentie van de externe beweging rondom de eigenfrequentie van het voorwerp ligt, kan de amplitude van het resonerende voorwerp enorm toenemen.

2 Golf

Figuur b1.7 Stuur een golf door het koord.

Grofweg kun je energie $E$ op twee manieren verplaatsen: (a) door middel van een bewegende massa $m$ met een snelheid $v$: $E_k= ½\, mv^2,$ of (b) door een trilling in bijvoorbeeld een koord te laten lopen. Dat laatste noem je een golf: Het is een trilling (energie) die zich voortplant door een medium (koord, lucht, water enz).

In een koord (of in een ander medium) is de golflengte $\lambda$ de afstand tussen twee punten die exacte dezelfde beweging uitvoeren (zie figuur b1.8). Het blijkt dat het product van frequentie $f$ en golflengte constant is en dat de eenheid van deze constante meter per seconde is. De constante noem je daarom de golf- of voortplantingssnelheid $v$: \begin{equation} f \cdot \lambda = \text{constant} = v. \tag{b1.10} \end{equation} De voortplantingssnelheid is specifiek voor ieder medium, bij een koord is de snelheid onder andere afhankelijk van de dikte en van de spankracht. In binas vind je de golfsnelheden voor verschillende media; bijvoorbeeld voor geluid in lucht $v_g= 343$ m/s (bij 20 C); of licht door vacuüm $c\approx 3 \times 10^8$ m/s.

Figuur b1.8 Twee opnames van een naar rechts bewegende transversale golf; de lichtgrijze opname vond plaats op $t_{1}$ en zwarte opname vond later plaats op $t_{2}=t_{1}+dt$. Hoewel de vorm van de golf opzij beweegt, gaat het rode punt van het koord omhoog.

De bewegingsrichting van een trilling ten opzichte van de richting van de golf kan verschillen. Bij een transversale golf is de uitwijking loodrecht op de voortplantingsrichting, bijvoorbeeld bij een gitaarsnaar. Bij een is de uitwijking parallel aan de voortplantingssnelheid, bijvoorbeeld bij geluid.

2.1 Fase

Ook bij een golf kun je spreken over een fase; maar vooral is een faseverschil $\Delta \phi$ vaak van belang. Bij golven noem je het punt dat gaat beginnen met trillen de kop van de golf, de fase is daar nul: $\phi = 0$. Op een afstand $\Delta x$ achter de kop is de golf al gepasseerd zodat daar een faseverschil is met de kop: \begin{equation} \Delta \phi= \frac{\Delta x}{\lambda}.\tag{b1.11} \end{equation}

3 Interferentie

Figuur b1.9 Maak een interferentiepatroon.

→ Web-app: Huygens-principe; en superpositie van twee golven kan leiden tot zweving.

Het Huygens-principe legt uit hoe een golf zich door een medium voortplant: (a) Elk punt van een golffront is op te vatten als een nieuw storingscentrum, dat op zijn beurt (elementaire) golfpulsen uitzendt, waarna (b) je een nieuw golffront vindt door de omhullende van de elementaire golffronten te nemen.

3.1 Superpositie

Een opvallende eigenschap van golven is dat ze in hetzelfde medium elkaar ongestoord kunnen passeren (inhalen, tegen elkaar in bewegen, ...) waarbij het niet uitmaakt wat de uitwijking, de frequentie of bewegingsrichting is van de verschillende golven. Tijdens het passeren treedt echter een combinatie op van de uitwijkingen $u$ op het medium — een verplaatsing uit de evenwichtstand. Bijvoorbeeld bij twee golven heeft dat tot gevolg: $u_{\text{tot}}=u_{1}+u_{2}$, zie figuur b1.10. Anders gezegd kunnen golven dus tegelijk op dezelfde plaats zijn. Het effect op het medium de som van aparte effecten. Dit optellen noem je superpositie en het verschijnsel noem je vaak interferentie. In het geval dat $u_{\text{tot}}=0$ spreek je over destructieve interferentie of verzwakking en in het geval dat $u_{\text{tot}}=u_{\text{max}}$ spreek je over constructieve interferentie of versterking.

Figuur b1.10 Superpositie van twee golven: (a) in fase ($\Delta \phi =$ 0) levert versterking; (b) in tegenfase ($\Delta \phi = ½$) levert in dit voorbeeld slechts een gedeeltelijke uitdoving op omdat de amplitudes van beide golven niet gelijk zijn.

3.2 Staande golf

→ Web-app van een staande golf in: (a) een koord, (b) in een buis met gas, en (c) in een membraan (zeg trommelvel).

In een afgesloten ruimte, bijvoorbeeld een koord, een membraan of een buis met gas, kun je golven opwekken die dan opgesloten blijven in die ruimte. De golven botsen tegen de randen/kanten, zullen met elkaar interfereren.

In bijzondere gevallen kan superpositie in de afgesloten ruimte leiden tot een zogeheten staande golf: Dan ontstaat er over het gehele medium een regelmatig herhalend patroon waarbij de amplitude van het overal in het patroon in op eenzelfde tempo variëert. Bijvoorbeeld alle punten van een koord hebben dezelfde fase en alle gaan tegelijk door de evenwichtstand.

→ Web-app waarmee je grondtoestanden kunt samenvoegen tot een patroon van staande golven.

In het staande patroon zijn knopen te vinden (waar destructieve interferentie ontstaat en de golven elkaar uitdoven) en ook buiken te vinden (waar constructieve interferentie ontstaat en de golven elkaar versterken). Het is handig om te onthouden dat: (a) een knoop ontstaat ter plaatse van een vast- of een dicht uiteinde, en (b) een buik ontstaat ter plaatse van een los- of een open uiteinde (zie figuren b1.6a - b). Het gevolg hiervan is dat bij een koord met twee vaste- of twee losse uiteinden of een buis met twee gesloten- of twee open uiteinden — beide met lengte $l$ — een staande golf optreedt als: \begin{equation} l = n\cdot\frac{\lambda}{2}, \quad n = 1,2,3... \, .\tag{b1.12} \end{equation} Bij een koord met een los- en een vaste uiteinde, of een buis met een open- en een gesloten uiteinde — beide met lengte $l$ — ontstaat een staande golf als: \begin{equation} l = (2n-1)\cdot \frac{\lambda}{4}, \quad n = 1,2,3... \, .\tag{b1.13} \end{equation}

Figuur b1.11 Door golven op te sluiten in een beperkte ruimte (breedte=$l$) kunnen staande golven ontstaan. (a) Bij een vast- of een gesloten uiteinde ontstaat een knoop; (b) bij een open- of los uiteinde ontstaat een buik. (c) Een koord (met twee vaste uiteinden) met (van onder naar boven) de grondtoestand, de eerste - en de tweede boventoestand (boventoon). (d) Een buis (met twee open uiteinden) met (van onder naar boven) de grondtoon, de eerste - en de tweede boventoon. In beide gevallen geldt: grondtoon ($l=\lambda / 2$); eerste boventoon ($l=\lambda$) en tweede boventoon ($l=\frac{3}{2}\lambda$).

Met vergelijking (b1.10) $v=f\lambda$ kun je bij een staande golf de bijbehorende frequentie uitrekenen. De laagste frequentie (de grootste golflengte) die past bij een staande golf, noem je de grondtoon of -frequentie: $f_0$. Een bovenfrequentie (boventoon bij een instrument) is altijd een meervoud van de grondfrequentie: $f_{\text{BT,n}}= n \times f_0.$

Boventonen kom je onder andere tegen bij instrumenten. Iedere muzieknoot die je speelt, is altijd een superpositie van een grondtoon met verschillende boventonen. De specifieke verdeling van grond- en boventonen is voor ieder instrument uniek en maakt dat je dezelfde noot (bijvoorbeeld $A4$) op verschillende instrumenten van elkaar kunt onderscheiden.

lopende golf staande golf
kenmerkende vorm kop, staart buik, knoop
amplitude alle gelijk verschilt per plaats
fase $\phi_{\text{kop}}=0$ overal hetzelfde
evenwichtstand na elkaar tegelijk
Tabel b1.1 Verschillen tussen lopende- en staande golven.

4 Tweespletenexperiment

→ Op het net is een enorme hoeveelheid aan web-apps te vinden die interferentie aan het tweespletenexperiment uitleggen. Hier een greep uit een aantal duidelijke: (a) golfinterferentie, (b) hoe ontstaat een interferentiepatroon op een scherm, en (c) twee rondom zendende bronnen.

Misschien wel één van de beroemdste experimenten uit de natuurkunde, het tweespletenexperiment geldt als de lakmoesproef van golfgedrag. Het experiment laat namelijk zien of verschijnselen een interferentiepatroon kunnen maken op een scherm achter de spleten, zie figuur b1.12. Dat wijst dan op golfgedrag. Als op het scherm echter twee spreidingen zijn te zien, dan noem je het verschijnsel deeltjesgedrag.

Het experiment heeft in de natuurkunde een grote betekenis gekregen. Het toonde aan dat licht een interferentiepatroon gaf. Licht was dus een golf en niet een deeltje (althans in 1807). Later in de quantummechanica werd het experiment opnieuw belangrijk. Het blijkt dat bijvoorbeeld elektronen soms een interferentiepatroon laten zien, en soms een deeltjesverdeling; het is maar net welke meting je doet.

Bij het tweespletenexperiment werken de beide spleten als coherent trillende bronnen, $S_{1}$ en $S_{2}$. Dat wil zeggen dat beide bronnen trillen: (a) in fase, (b) met dezelfde frequentie, en (c) met dezelfde amplitude. Op een loodlijn midden tussen de twee bronnen komen de golven altijd tegelijk aan; het faseverschil is hier nul: $\Delta \phi=0$. Anders gezegd: de buiken en ook de bergen arriveren daar op hetzelfde moment. Op deze loodlijn treedt daarom constructieve interferentie op. Hier is dan sprake van een buiklijn.

In de ruimte achter de spleten geldt in feite overal dezelfde redenering: Interferentie (constructief of destructief) hangt af van het fase- of weglengteverschil ($\Delta \phi$ of $\Delta s$) van de golven uit de twee spleten.

Voor constructieve interferentie (de buiklijn of de lijn met maximale uitwijkingen) geldt: \begin{equation} \Delta \phi = 0, 1, 2, ... ,\tag{b1.14} \end{equation} en voor destructieve interferentie (de knooplijn of de lijn met minimale of geen uitwijkingen) geldt: \begin{equation} \Delta \phi = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{5}{2}, ...\, .\tag{b1.15} \end{equation}

Figuur b1.12 Youngs proef van interferentie van licht bij het tweespletenexperiment. Het meeste licht gaat rechtdoor waardoor in het midden een fel (nulde orde) maximum ontstaat. Naar de zijkanten ontstaat eerst een minimum (bij de pijlen) en vervolgens weer het (eerste orde) maximum, voor bovenstaande situatie bij $17,5^{0}$. Hoewel niet zo duidelijk in deze figuur, is de intensiteit van het middelste nulde orde maximum veel groter dan de intensiteit van eerste maximum. Afbeelding: walter-fendt.de.

Het interferentiepatroon op het scherm kun je breder maken als je de afstand tussen de spleten kleiner maakt of de golflengte groter maakt: \begin{equation} \theta \approx \lambda / d, \tag{b1.16} \end{equation} waarbij $\theta$ de buigingshoek is, de hoek tussen de rechtdoorgaande licht en het eerste maximum, en $d$ de afstand tussen de spleten is.

Op school vegen we dat wat onder de tafel, maar het blijkt dat iedere individuele spleet ook een eigen interferentiepatroon op het scherm heeft. Zelfs met één spleet ontstaat een interferentiepatroon op het scherm dat je kunt uitleggen als een golf die zich rond de spleet buigt. Het eerdere idee van de Huygensbronnen geeft hier aan dat je de enkele spleet verdeeld kunt denken als naast elkaar geplaatste coherente bronnen die naar alle kanten golven uitzenden. De golven van al deze bronnen gaan met elkaar interfereren en vormen een patroon van knoop- en buiklijnen.❰

laatste aanpassing: 23-11-2019.